高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第3章 3.1.3 空间向量的数量积运算

第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算课时跟踪检测一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是(  )A．〈，〉B．〈，〉C．〈，〉D．〈，〉解析：〈，〉＝45°，〈，〉＝135°，〈，〉＝90°，〈，〉＝180°.答案：B2．如图，已知空间四边形每条边长和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(  )A．2·B．2·C．2·D．2· 解析：2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝||2＝a2，故C正确．答案：C3．若向量a＝(3,2，x)，b＝(1,0,2)，c＝(1，－1,4)，满足条件(c－a)⊥b，则实数x的值(  )A．－1B．2C．3D．4解析：∵c－a＝(－2，－3,4－x)，∴(c－a)·b＝－2＋0＋2(4－x)＝0，解得x＝3.答案：C4．如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCD－A1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是(  )A.        B．2C.D．解析：||＝＝＝.答案：D5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是(  )A．钝角三角形B．锐角三角形 C．直角三角形D．不确定解析：∵M是BC的中点，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴AM⊥AD，∴△AMD是直角三角形．答案：C6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是(  )A．1B．2C．3D．0解析：如图所示．由(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝32，知①正确；由·(－)＝·(＋)＝·＝0，知②正确；与的夹角为120°，故③不正确．答案：B二、填空题7．已知空间向量a，b，c中每两个的夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________.解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|cos〈a，b〉＋2|a|·|c|cos〈a，c〉＋2|b|·|c|cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4× 6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.答案：108．已知a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝________.解析：(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2×4－2×5×＝13.答案：139．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉＝________.解析：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，cos〈a，b〉＝＝.答案：三、解答题10．(2019·山东济南高二月考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．解：(1)∵＝＋＋＝＋＋，∴||＝＝ ＝＝＝.(2)∵cos〈，〉＝＝＝＝＝－.∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.11．如图，已知在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴·＝0，·＝0.∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·＝·－2－· ＝·(－－)＝·＝0.∴⊥，从而AD⊥BC.12.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)求证：CE⊥A1D；(2)求异面直线CE与AC1所成角的余弦值．解：设＝a，＝b，＝c.根据题意，得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)证明：＝＋＝b＋c，＝＋＝－＋(－)＝－c＋b－a.则·＝·＝－b·c－c2＋b2＋b·c－a·b－a·c＝|b|2－|c|2＝0，∴⊥，即CE⊥A1D.(2)易知＝－a＋c，||＝|a|，又＝b＋c，∴||＝|a|.∴·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝＝.即异面直线CE与AC1所成角的余弦值为.13．(2019·银川模拟)正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为(  )A．2B．C.D．解析：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°.又∵＝＋＋＝－＋＋＝－a＋c＋b，∴||2＝a2＋c2＋b2＋2－a·c＋b·c－a·b＝×4＋4＋×4＋2－×0＋×0－×2×2×＝1＋4＋1－1＝5.∴||＝.即EF的长为.答案：C