高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第3章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪检测一、选择题1．下列命题中真命题的个数是(  )①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：②③正确，①④不正确．答案：C2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是平面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(  )A.a＋b＋cB．a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c解析：＝＋＝＋(＋) ＝＋(－＋)＝c＋(b－c－a)＝－a＋b＋c.答案：D3．已知正方体OABC－O1A1B1C1的棱长为1，若以，，为基底，则向量1的坐标是(  )A．(1,1,1)B．(1,0,1)C．(－1，－1，－1)D．(－1,0,1)解析：如图所示，易知＝＋＋，∴向量1的坐标为(1,1,1)．答案：A4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为(  )A.，，B．，，C.，，D．，， 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)＝＋＋.又＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝.答案：D5．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(  )A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c解析：解法一：∵a＝(p＋q)，b＝(p－q)，a＋2b＝p－q，∴A、B、C中的向量都不能与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底．解法二：A、B、C都是与a，b共面的向量，p、q也与a、b共面，故不能构成空间中的基底．答案：D6．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为(  )A．1B．－1C．2D．－2解析：由题意知，A，B，C，D四点共面的充要条件是：对空间任一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此可知2x＋3y＋4z＝－1.答案：B 二、填空题7．若{a，b，c}构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z应满足的条件是________．解析：∵{a，b，c}构成空间的一个基底，∴a，b，c是空间不共面的非零向量．由xa＋yb＋zc＝0知，x＝y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝08．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.解析：∵＝＋＋，＝＋＋.∴2＝＋＋＋＋＋，又∵E为AC的中点，F为BD的中点，∴＋＝0，＋＝0，∴2＝＋＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c9．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．解析：设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.由题意，得解得 答案：三、解答题10．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．解：设{e1，e2，e3}是单位正交基底，则＝4e1，＝2e2，＝4e3，∵＝－＝－(＋)＝－＝－－－.∴＝－2e1－e2－4e3，∴＝(－2，－1，－4)．∵＝－＝－(＋)＝－－.∴＝－4e1＋2e2－4e3，∴＝(－4,2，－4)．11．(2018·山西太原高二期末)如图，三棱锥O－ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE＝λOC，记＝a，＝b，＝c.(1)用向量a，b，c表示；(2)求||的最小值． 解：(1)＝＋＝＋－＝(－)＋λ－＝－a－b＋λc.(2)因为三棱锥棱长都为1，故a2＝b2＝c2＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，所以||2＝－a－b＋λc2＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c＝＋λ(λ－1)＝2＋，故当λ＝时，||取得最小值，且||min＝.12．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.解：(1)假设四点共面，则存在实数x，y，z使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)，比较对应项的系数，得到关于x，y，z的方程组．解得与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面．(2)若向量，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，同(1)可证，这不可能，因此{，，}可以作为空间的一个基底．令＝a，＝b，＝c，由e＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，联立得到方程组，从中解得 所以＝17－5－30.13．(2019·山西大同高二检测)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．证明：(1)如图，连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.又因为EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示．由(2)知，＝，同理＝，所以＝，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分． 故＝(＋)＝＋＝×(＋)＋×＝(＋＋＋)．