高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第3章　3.2 立体几何中的向量方法 第一课时

第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法第一课时 用空间向量解决平行关系课时跟踪检测一、选择题1．给定下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是(  )A．1         B．2C．3D．4解析：①③④正确．②中由α∥β⇒n1∥n2.答案：C2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(  )A．(1，－1,1)B．1,3，C．1，－3，D．－1,3，－解析：对于B，＝－1,4，－，则n·＝(3,1,2)·－1,4，－＝0，∴n⊥，则点P1,3，在平面α内．答案：B3．若空间中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的关系为(  )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定 解析：＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1)．故＝－2.所以∥，即AB与CD平行．答案：A4．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量为，，下列关系中能表示l∥α的是(  )A．a＝B．a＝kC．a＝λ＋μD．以上均可能解析：A，B，C均能表示l∥α或l⊂α.答案：D5．已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(  )A．(1，－4,2)B．C.D．(0，－1,1)解析：解法一：由已知，得＝(0,2,4)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即把四个选项代入验证知，D项(0，－1,1)不满足．解法二：因为A，B，C中各向量平行，故选D.答案：D6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(  ) A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C1－xyz，如图所示．∵A1M＝AN＝a，∴M，N，∴＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.∵是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案：B二、填空题7．已知平面α与平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，若α⊥β，则x＝________.解析：∵a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，又α⊥β，∴1×x＋1×(－2)＋2×3＝0， ∴x＝－4.答案：－48．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是________．解析：易求得，平面ABC的一个法向量为u＝(0,0,1)，而＝(1,1，x)，∴当AD⊂平面ABC时，·u＝0.∴1×0＋1×0＋x＝0.∴x＝0.答案：09．已知向量a＝(1,3,5)，b＝(2,4,6)，若n与x轴垂直，且a·n＝12，n·b＝14，则n＝________.解析：设n＝(x，y，z)，由题意，得得∴n＝(0，－1,3)．答案：(0，－1,3)三、解答题10．(2019·黑龙江实验中学期末)四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)证明：PC∥平面BAQ.证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，为x轴的正方向建立空间直角坐标系D－xyz.(1)依题意，有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，且DQ∩DC＝D.故PQ⊥平面DCQ. 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)根据题意，＝(1,0,0)，＝(0,0,1)，＝(0,1,0)，故有·＝0，·＝0，所以为平面BAQ的一个法向量．又因为＝(0，－2,1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为1.则A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)，∴＝(－1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面A1DB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⇒令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1DB的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．设平面CB1D1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则⇒令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)．∴n1＝n2，即n1∥n2，∴平面A1BD∥平面CB1D1.12．(2019·高三模拟)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3， CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.(1)设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；(2)已知O为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的中心，求CO的长．解：(1)由＝a，＝b，＝c，得＝a＋b＋c，所以＝－a－b－c.(2)O为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点．由已知条件，得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.由(1)得，＝a＋b＋c，则||2＝2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝29.所以A1C的长为，所以CO的长为.13．(2019·天津和平区期末)对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：①a∥b⇔＝＝；②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.其中真命题的个数为(  )A．0B．1C．2D．3解析：由＝＝⇒a∥b，反之不一定成立，故①不正确；若a1＝a2＝a3＝1，则|a|＝，故②不正确；③正确．答案：B