高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第一课时

第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆2.2.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．短轴长等于8，离心率等于的椭圆的标准方程为(  )A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析：∵离心率e＝，短轴长为8，∴＝，b＝4，又a2－b2＝c2，解得a2＝25，b2＝16.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：D2．(2019·开封模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(  )A.＋＝1B．＋＝1C.＋y2＝1D．＋＝1 解析：由圆C：x2＋y2－2x－15＝0，得(x－1)2＋y2＝16，∴圆C的半径r＝4，∴2a＝4，a＝2.又e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：A3．以椭圆＋＝1的短轴顶点为焦点，离心率e＝的椭圆的标准方程为(  )A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：由题意得，所求椭圆中c＝3，e＝＝，a＝6，b2＝36－9＝27，焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(  )A.   B．C.   D．解析：由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝， ∴e＝＝＝＝＝.答案：A5．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为(  )A．0   B．1C．2   D．4解析：如图所示，在Rt△OF1B中，|F1B|＝a，|OF1|＝c，则sin∠F1BO＝＝＝0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析：设P(x，y)，则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)，∴·＝x2－c2＋y2＝c2，即x2＋y2＝2c2，即椭圆上存在点P，使得|PO|＝c，又|PO|∈[b，a]∴b≤c≤a，b2≤2c2≤a2，由a2－c2≤2c2，得e≥，由2c2≤a2，e2≤，∴e≤，∴e∈，.答案：，8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为________．解析：由题，可知|OP|＝|OF2|，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e2＝，即e＝.答案：9．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为椭圆C 上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设M(m，n)，m，n＞0，椭圆C：＋＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由M为椭圆C上一点且在第一象限，得|MF1|＞|MF2|.又△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6＋m＝8，即m＝3，n＝，或6－m＝8，即m＝－3＜0，舍去．综上，M(3，)．答案：(3，)三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．解：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得a2＝40，b2＝10，故所求椭圆的标准方程为＋＝1；②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得a2＝25，b2＝，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求· 的取值范围．解：(1)由题意，得解得∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)得，A(－2,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·＝(－2－x)(1－x)＋y2＝x2＋x－2＋3－x2＝x2＋x＋1＝(x＋2)2(－2≤x≤2)．∴·∈[0,4]．12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．求椭圆的标准方程．解：由题设，知a2＝b2＋c2，e＝，由点(1，e)在椭圆上，得＋＝1，即＋＝1，∴b2＋c2＝a2b2，∴a2＝a2b2，∴b2＝1，∴c2＝a2－1.由点在椭圆上，得＋＝1，即＋＝1，∴＋＝1，整理得a4－4a2＋4＝0，解得a2＝2.∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.13．(2019·浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．解析：如图，设右焦点为F1，PF中点为M，则OM为△FPF1的中位线，由题意，得|OF|＝2，则|OM|＝2，|PF1|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF |＝2，在△PFF1中，cos∠PFF1＝＝，∴sin∠PFF1＝，∴k＝tan∠PFF1＝.答案：