高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第3章 3.1.5 空间向量运算的坐标表示

第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示课时跟踪检测一、选择题1．与向量a＝(0,1，－2)共线的向量是(  )A．(2,0，－4)B．(3,6，－12)C．(1,2，－2)D．解析：∵a＝(0,1，－2)＝2，∴a与共线．答案：D2．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(  )A．－1B．1C．0D．－2解析：∵a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，∴p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：A3．已知△ABC的三个顶为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(  )A．2B．3C．4D．5解析：∵B(4，－3,7)，C(0,5,1)，∴BC边上的中点D(2,1,4)．又A(3,3,2)， ∴|AD|＝＝3.答案：B4．已知空间A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，且＝(－)，则P点的坐标为(  )A.B．C.D．(4,3,0)解析：设点P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，又∵(－)＝＝，∴∴∴点P的坐标为.答案：B5．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(  )A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1解析：∵a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，∴a＋2b＝(1,2，－y)＋(2x,2,4)＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2,4，－2y)－(x,1,2)＝(2－x,3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴＝＝，解得x＝，y＝－4. 答案：B6．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于(  )A．19B．－C.D．解析：∵＝(1－x,2x－3,3－3x)，∴||＝＝.故当x＝时，||有最小值．答案：C二、填空题7．设a＝(1,3，－2)，b＝(2，m＋1，n－1)，且a∥b，则实数m－n＝________.解析：∵a∥b，所以存在实数k，使得b＝ka，则∴m＝5，n＝－3，∴m－n＝8.8．若a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，且a与b同向，则3x－y＝________. 解析：由题意，得＝＝，得得或当时，b＝(1,2,3)，符合题意；当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，不合题意舍去．∴∴3x－y＝0.答案：09．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列给出四个命题：①四边形ABC1D1的面积为||||； ②与的夹角为60°；③(＋＋)2＝3()2；④·(－)＝0.则正确命题的序号是________(填出所有正确命题的序号)．解析：①由AB⊥平面BB1C1C，故AB⊥BC1，∴四边形ABC1D1的面积为||||，故正确；②∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是与的夹角为120°，故错误；③由向量的加法可以得到＋＋＝，∵||2＝3||2，∴(＋＋)2＝32，故正确；④－＝，D1B1⊥平面AA1C1C，故D1B1⊥A1C，则·(－)＝0，故正确．答案：①③④三、解答题10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．解：(1)∵∥，∴设＝λ，又＝(3，－2，－1)，∴＝(3λ，－2λ，－λ)，又||＝＝2，得λ＝±2，∴＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．又A(0,2,3)， 设P(x，y，z)，∴或得或∴P(6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，cos〈，〉＝＝＝，∴∠BAC＝60°.∴以，为邻边的平行四边行的面积S＝||||sin60°＝14×＝7.11．(2019·四川省眉山一中期中)直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′＝2，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：(1)证明：如图建立空间直角坐标系C－xyz，则＝(0,2,1)，＝(－1,1，－2)，∴·＝0，∴CE⊥A′D. (2)∵＝(0,2,1)，＝(－2,0,2)，∴cos〈，〉＝＝，∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF与B1C所成的角；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求F，H两点间的距离．解：如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.(1)则＝，＝(－1,0，－1)，∴·＝·(－1,0，－1)＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.∴⊥，即EF⊥B1C.∴EF与B1C所成的角为90°.(2)又＝，则||＝.又||＝，且·＝， ∴cos〈，〉＝＝，即EF与C1G所成角的余弦值为.(3)∵H是C1G的中点，∴H.又F，∴|FH|＝||＝＝.13．(2019·郑州质检)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是(  )A．－3或1B．3或－1C．－3D．1解析：∵|a|＝＝6，∴x＝±4.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴2＋2y＋x＝0.∴当x＝4时，y＝－3，∴x＋y＝1；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3.答案：A