高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章2.4.2 抛物线的简单几何性质 第一课时

第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质第一课时 抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为(  )A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8xD．y2＝16x解析：由题意知，点M(x，y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x＋4＝0的距离，所以点M(x，y)的轨迹是抛物线，且方程为y2＝16x.答案：D2．若抛物线y2＝x上一点M到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M的坐标为(  )A.B．C.D．解析：设M(x0，y0)，F，由题意知|MF|＝|OM|.∴2＋y＝x＋y，解得x0＝，代入y2＝x，得y0＝±，∴点M的坐标为.答案：B3．(2019·福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点A(k，－2)与点F的距离为4，则k的值为(  ) A．4B．4或－4C．－2D．－2或2解析：由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵A(k，－2)在抛物线上，∴k2＝4p.又|AF|＝4，∴＋2＝4，∴p＝4，∴k＝±4.答案：B4．(2019·保定模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题为(  )A．①③B．①④C．②③D．②④解析：如图，由题意知，F，P，M，p，N，则|PF|＝|MF|＝|NF|＝p.∴∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而∠MPN＝90°，∴△PMN为直角三角形，故①正确，②错误；直线PM的方程为y＝x＋，代入y2＝2px，得y2－2py＋p2＝0，∴Δ＝(－2p)2－4p2＝0，∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．答案：A5．(2019·郑州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|＝(  )A．10B．8C．6D．4解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝3，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2 ＋2＝8.答案：B6．(2019·马鞍山市阶段测试)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若＝4，则直线l的斜率为(  )A．±B．±C．±D．±解析：不妨设M(x1，y1)(x1>0，y1>0)，N(x2，y2)，∵＝4，∴y1＝－4y2，又y1y2＝－p2，∴y2＝－，x2＝，∴kMN＝＝.根据对称性可得直线l的斜率为±.答案：D二、填空题7．(2019·凯里市期末)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则此抛物线的方程为________．解析：因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为9＝|BF|2，∴|BF|＝6，∴F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，此抛物线的方程为y2＝6x.答案：y2＝6x8．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则椭圆的离心率是________． 解析：由题意得∴4c＝，即b2＝2ac＝a2－c2，∴e＝－1或e＝－－1(舍去)．答案：－19．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线方程为x2＝2py，A(x0，y0)，l为准线，过A作AB⊥l，交l于B，由题意得∴又(x0，y0)在x2＝2py上，∴8＝2p＝6p－p2，解得p＝2或p＝4.故所求的抛物线方程为x2＝4y或x2＝8y.答案：x2＝4y或x2＝8y三、解答题10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解：(1)∵直线l的倾斜角为60°，∴k＝.又F，∴直线l：y＝.由得x2－5x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，又|AB|＝9，∴x1＋x2＝6.∴AB的中点M的横坐标是3，又∵准线方程为x＝－，∴M到准线的距离为3＋＝.12．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0，－2)的距离比它到x轴的距离大2，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)若直线y＝2x＋b与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围． 解：(1)设轨迹C上的动点M(x，y)，则由题意，＝|y|＋2，∴x2＝4(|y|－y)，∴轨迹C的方程为x2＝(2)轨迹C与直线y＝2x＋b有两个交点，等价于①直线y＝2x＋b与x＝0(y>0)，x2＝－8y(y≤0)各有一个交点，即满足b>0，且只有一根，即x2＝－8(2x＋b)只有一根，Δ＝256－32b＝0，∴b＝8.②直线y＝2x＋b与x2＝－8y(y≤0)有两个交点，而与x＝0(y>0)没有交点，即b≤0，有两根，Δ＝256－32b>0，∴b