高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章2.2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时

第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆2.2.2 椭圆的简单几何性质第二课时 直线与椭圆的位置关系课时跟踪检测一、选择题1．过椭圆＋＝1(a＞)的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|＝，则a的值为(  )A．4         B．2C．3D．9解析：∵|AB|＝＝＝，∴a＝4.答案：A2．过坐标原点，作斜率为的直线，交椭圆＋＝1于A，B两点，则|AB|的长为(  )A．2B．4C.D．解析：由得x2＝，解得x＝±，∴|AB|＝|x2－x1|＝×＝4.答案：B3．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a 的值为(  )A.B．1C．2D．4解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知，直线l的方程为x＝－c，又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C4．设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为长轴长的一半，则C的离心率为(  )A.B．C.D．解析：不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得＝a，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.答案：C5．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为(  )A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：由题意，知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y 轴上的顶点重合，此时∠F1PO＝.∴a＝＝2，∴b＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：A6．在焦距为2c的椭圆M：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4 的等边三角形，则椭圆C的方程为________________．解析：由△F2AB是面积为4的等边三角形知，AB⊥x轴，得＝×2c，① ×2c×＝4，②又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③，得a2＝9，b2＝6，c2＝3，故所求的椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝19．(2019·怀化模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角应大于等于120°，所以底角小于等于30°，则≥，即e≥.又0＜eb>0)上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，若P－，0，求证：·为定值．解：(1)由题意，得解得即椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以·＝x1＋，y1·x2＋，y2＝x1＋·x2＋＋y1y2＝x1＋·x2＋＋k2(x1＋1)·(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋＋k2·(x1＋x2)＋＋k2＝(1＋k2)·＋＋k2·－＋＋k2＝＋＋k2＝.故·为定值．11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段长为，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，又∵a＝2b， ∴椭圆方程可化为＋＝1.设直线y＝x＋2与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得5x2＋16x＋16－4b2＝0，由题意得，方程有两根x1，x2，且x1＋x2＝－，x1x2＝－b2.又|AB|＝|x2－x1|＝·＝·＝.解得b2＝4.故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.12．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c＝及题设，知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故椭圆C的离心率为.(2)由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1