高中数学人教A版选修2-1（同步练习）阶段性测试题二

阶段性测试题二第二章 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·北京海淀区二模)设曲线C是双曲线，则“曲线C的方程为x2－＝1”是“曲线C的渐近线方程为y＝±2x”的(  )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，而渐近线方程y＝±2x的双曲线方程不一定是x2－＝1，如－＝1，所以“曲线C的方程为x2－＝1”是“曲线C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件．答案：A2．已知双曲线方程为－＝1，则此双曲线的右焦点的坐标为(  )A．(1,0)B．(5,0)C．(7,0)D．(，0)解析：∵a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，∴此双曲线右焦点的坐标为(，0)．答案：D3．(2019·沈阳模拟)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(  )A．2B．C.D． 解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，半径为r＝2，由题意得2＋2＝22，即＝3.又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2.答案：A4．在△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(  )A.B．±C.D．±解析：由正弦定理，得＝，∵AB＝10，a2＝16，b2＝9，c＝5，∴A，B为焦点，∴|CB|－|CA|＝2a或－2a，∴|CB|－|CA|＝±8，∴＝＝±，选D.答案：D5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(  )A．(0,1)B．C.D．解析：∵满足·＝0的点M在圆x2＋y2＝c2上，∴圆x2＋y2＝c2在椭圆内部，即c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2,2c2＜a2，∴e2＜，即e∈.答案：C 6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝(  )A．9B．6C．4D．3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.∵＋＋＝0，∴F为△ABC的重心，∴x1＋x2＋x3＝3.又||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1，∴||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6.答案：B7．(2019·哈尔滨模拟)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(  )A.－x2＝1B．－y2＝1C.－＝1D．－＝1解析：设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，∴4＝a2＋b2.又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为＝，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为－＝1.答案：D8．抛物线x2＝8y的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，点P为x轴正半轴上任意一点，则(＋)·(－)＝(  )A．－20B．12C．－12D．20 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴(＋)·(－)＝·＝(x1，y1)·(－x2，－y2)＝－x1x2－y1y2.∵x2＝8y的焦点为F(0,2)，设过点F的直线为y－2＝kx，与抛物线联立，得x2－8kx－16＝0，∴x1x2＝－16，x1＋x2＝8k，则y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－16k2＋2k×8k＋4＝4，∴(＋)·(－)＝·＝－x1x2－y1y2＝－(－16)－4＝12.答案：B9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为(  )A.B．C．2D．解析：因为|MF2|＝7|MF1|，所以|MF2|－|MF1|＝6|FM1|，即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，即双曲线的离心率e＝≤，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立，故此双曲线的离心率的最大值为.答案：A10．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(  )A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D．－＝1解析：由·＝0，知MF1⊥MF2，由焦点三角形的面积公式，知|MF1|·|MF2|＝，∴b2＝1.又c＝，∴a2＝c2－b2＝10－1＝9.又焦点在x 轴上，故所求的双曲线方程为－y2＝1.答案：A11．过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB，若|AF|＝d1，|BF|＝d2，则＋的数值为(  )A.B．C.D．与AB斜率有关解析：一般推理较繁，为快速确定答案可考虑两种特殊情况，当AB的斜率为0时，记A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，则d1＝|AF|＝c＋a，d2＝|BF|＝a－c，∴＋＝＋＝＝；当AB⊥x轴时，x＝c，y＝±，记A，B，则d1＝|AF|＝，d2＝|BF|＝，∴＋＝，因此可以判断选B.答案：B12．(2019·揭阳二模)已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为(  )A.B．C．2D．＋1解析：∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义有|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，∴离心率e＝＝＝＝＋1.答案：D 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在题中的横线上)13．(2019·宁波质检)与圆(x－2)2＋y2＝1外切，且与直线x＋1＝0相切的动圆圆心的轨迹是________．解析：设动圆圆心为P(x，y)，由几何意义知，点P(x，y)的轨迹是以(2,0)为焦点，以x＝－2为准线的抛物线，故其方程为y2＝8x.答案：y2＝8x14．已知A，B为椭圆C：＋＝1的长轴的两个顶点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是________．解析：由椭圆知，当点P位于短轴的顶点时，∠APB取得最大值，∴＝，∴＝，∴m＝.答案：15．以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________．解析：抛物线y2＝20x的焦点坐标为(5,0)，双曲线－＝1的渐近线方程为3x±4y＝0，圆心(5,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝3，即圆的半径为3，故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝9.答案：(x－5)2＋y2＝916．(2019·天津市七校期中联考)已知椭圆C1与双曲线C2有公共焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2的一个交点，PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝2e1，则e1＝________.解析：如图，由椭圆定义及勾股定理得， 可得S△PF1F2＝b，∵e1＝，∴a1＝，∴b＝a－c2＝c2－1，同理，可得S△PF1F2＝b，∵e2＝，∴a2＝，∴b＝c2－a＝c21－，∴c2－1＝c21－，即＋＝2.∵e2＝2e1，∴e1＝.答案：三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求证：无论m为何值，直线l：mx－y－m＋1＝0与椭圆＋＝1恒有交点．证明：直线l的方程可化为y－1＝m(x－1)，∴直线l恒过定点(1,1)．而定点(1,1)在椭圆＋＝1的内部．∴直线l与椭圆恒有交点．18．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得弦长为，求抛物线的方程．解：依题意，设抛物线方程为y2＝ax，(a≠0)将y＝2x＋1代入，得4x2＋(4－a)x＋1＝0.设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由Δ＝(4－a)2－16>0，解得a8.由弦长公式得 |AB|＝·＝，∴2－1＝3，∴(a－4)2＝64，∴a＝12或a＝－4.∴抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.19．(12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(00)的两个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，∴|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故椭圆C的离心率是e＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在．当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②＋＝1，③由②③及a2＝b2＋c2，得y2＝，又由①，知y2＝，故b＝4.由②③，得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．(12分)(2019·太原期末)P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Г.(1)求曲线Г的方程；(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．解：(1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于2.由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，故曲线Г是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，∴a＝，c＝1，b＝1.曲线Г的方程为＋y2＝1.(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，点P在第一象限，∴P.于是直线AP方程为y＝(x＋1)．由解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－.由于点M在线段AP上，所以点M的坐标为.22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点． (1)写出曲线C的方程；(2)若⊥，求k的值．解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)＞0恒成立．故x1＋x2＝－，x1x2＝－.∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.∴y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.