高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章 2.3.1 双曲线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时跟踪检测一、选择题1．双曲线－＝1的焦距为10，则实数m的值为(  )A．4B．16C．－16D．81解析：由2c＝10，得c＝5，∴9＋m＝25，∴m＝16.答案：B2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(  )A.B．C.D．解析：双曲线方程x2－2y2＝1的标准方程为x2－＝1，∴c2＝1＋＝，∴c＝，∴右焦点的坐标为.答案：C3．若M在双曲线－＝1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF1|的值为(  )A．4B．8C．12D．24解析：根据双曲线的定义，可知|MF1|－|MF2|＝2|MF2|＝2a＝8，∴|MF2|＝4，∴|MF1|＝3|MF2|＝12. 答案：C4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为(  )A.B．C.D．解析：设P(x，y)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n；则|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中，|F1F2|＝2，由余弦定理，得(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，即8＝(m－n)2＋mn，∴mn＝4.由△F1PF2的面积公式，得×2×|y|＝mnsin60°，∴|y|＝.答案：B5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为(  )A．x2－＝1(x>1)B．x2－＝1(x0)D．x2－＝1(x>1)解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|＝b，∴点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故点P的轨迹方程是x2－＝1(x>1)．答案：A6．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P 的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是(  )A.B．C.D．2解析：由题意，可得点P的轨迹为焦点在x轴的双曲线的右支c＝，a＝1，∴b＝＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y2＝1(x≤－1)．把y＝代入x2－y2＝1，得x＝－.∴点P的坐标为，∴点P到原点的距离为＝.答案：A二、填空题7．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．解析：由双曲线方程可知a＝8，c＝＝10，∴|PF2|＝|PF1|－2a＝1＜c－a，不符合题意，|PF2|＝|PF1|＋2a＝17＋16＝33.答案：338．中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x－4y＋24＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．解析：由题意中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x－4y＋24＝0与坐标轴的交点，令x＝0，解得y＝6，故得到c＝6,2a2＝36，∴a2＝18，∴所求等轴双曲线方程是y2－x2＝18.答案：y2－x2＝189．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．解析：由|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4知P点的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线的一支，所以2a＝3,2c＝4，所以a＝，c＝2，所以|PA|min＝a＋c＝.答案：三、解答题10．(2019·马鞍山测试)已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sinB－sinA＝sinC.(1)求|AB|；(2)求顶点C的轨迹方程．解：(1)∵椭圆x2＋5y2＝5化为标准方程为＋y2＝1.可得a2＝5，b2＝1，c2＝4.即可得A(－2,0)，B(2,0)，∴|AB|＝4.(2)∵sinB－sinA＝sinC，由正弦定理可得，|CA|－|CB|＝|AB|＝2n，由椭圆及双曲线的定义有|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝±2，两式分别平方相减，可得|PF1|·|PF2|＝m－p.答案：C