高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第二课时

第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质第二课时 直线与抛物线的位置关系课时跟踪检测一、选择题1．抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为(  )A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：由题意，可得2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.答案：C2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(  )A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝0解析：设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2，∵A，B在抛物线y2＝8x上，∴y＝8x1，y＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴k＝＝－4.∴直线AB的方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.答案：C3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(  )A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，恒过定点(1,0)，而(1,0)在y2＝2px(p＞0)内， ∴直线与抛物线有一个或两个公共点．答案：C4．(2019·郑州市期中)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝(  )A．16B．4C.D．解析：由题意，可得直线4x－3y－2p＝0与x轴的交点是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，由得8x2－17px＋2p2＝0⇒xD＝，xA＝2p，|AB|＝|AF|－＝xA＋－＝2p，|CD|＝|DF|－＝xD＋－＝.∴＝＝16.答案：A5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为(  )A．x＝1B．x＝2C．x＝－1D．x＝－2解析：由抛物线y2＝2px，知焦点F，设直线方程为y＝－.由得4x2－12px＋p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，∴＝＝3，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－1. 答案：C6．(2019·绵阳模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(  )A．(0，±2)B．(0,2)C．(0，±4)D．(0,4)解析：在△AOF中，点B为边AF的中点，故点B的横坐标为，因此＝＋，解得p＝，故抛物线方程为y2＝2x，可得点B的坐标为，故点A的坐标为(0，±2)．答案：A二、填空题7．直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2＝2x上，且斜边AB和y轴平行，则直角△ABC斜边上的高的长度为________．解析：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为，B的坐标为，则A的坐标为；＝，＝.又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即·＝0，变形可得|b2－c2|＝4，而斜边上的高即C到AB的距离为－＝2.答案：28．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的弦的中点坐标为________．解析：由得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝6，∴中点的横坐标x0＝＝3，又∵y0＝x0－1＝2， ∴中点坐标为(3,2)．答案：(3,2)9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为________．解析：由抛物线的定义，知1＋＝5，∴p＝8，∴m2＝16.又m>0，∴m＝4，∴M(1,4)．由双曲线－y2＝1，知A(－，0)，渐近线方程y＝±.又AM的斜率kAM＝，∴＝，∴＝.又c＝＝，∴e＝＝.答案：三、解答题10．(2019·平顶山调研)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，求k的值．解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，∴过A，B两点的直线方程为y＝k(x－1)，联立可得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－4.∵M(－1,1)，∴＝(x1＋1，y1－1)，＝(x2＋1，y2－1)．∵∠AMB＝90°，∴·＝0，∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理可得，x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，∴1＋2＋－4－＋2＝0，即k2－4k＋4＝0，∴k＝2.11．求过定点P(－1,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程． 解：当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l的斜率存在时，若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点；若直线l与抛物线的对称轴不平行，∴设直线l的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x＋1)，由得ky2－2y＋2k＋2＝0.由题意，得Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，得k＝.∴直线l的方程为(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.12．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)，所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN；当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由得ky2－2y－4k＝0.则y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝，① 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0，所以kBM＋kBN＝0，则BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.13．(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明：由(1)得，抛物线C的焦点为F(0，－1)，x2＝－4y.设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4，直线OM的方程为y＝x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－，同理，得点B的横坐标xB＝－.设点D(0，n)，则＝－，－1－n，＝－，－1－n，∴·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．