高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章 2.4.1 抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程课时跟踪检测一、选择题1．到定点F(1，－1)的距离与到直线3x－2y－5＝0的距离相等的点P的轨迹是(  )A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线解析：∵3×1－2×(－1)－5＝0，∴点F(1，－1)在直线3x－2y－5＝0上，∴点P的轨迹是过点F且与直线3x－2y－5＝0垂直的直线．答案：D2．已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为(  )A．x＝8B．x＝－8C．x＝4D．x＝－4解析：由题意，得1＋＝5，∴p＝8，∴准线方程为x＝－4.答案：D3．(2019·杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(  )A.   B．4C.   D．5解析：由x2＝4y知，抛物线的准线方程为y＝－1，∵点A的纵坐标为4，∴点A到直线y＝－1的距离为5，从而点A到焦点的距离为5.答案：D 4．若椭圆＋＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为(  )A．3   B．C.   D．6解析：＋＝1可化为＋＝1.由题意，得－＝－，又p＞0，∴p＝.答案：C5．(2019·牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是(  )A．y2＝－xB．y2＝2xC．2x2＝yD．x2＝－4y解析：在抛物线的标准方程中，焦点到准线的距离为p，四个方程中，2x2＝y的p为最小．答案：C6．(2019·运城期末)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A(－2,1)的距离之和最小，则点P的坐标为(  )A.B．C．(－2，－2)D．(－2,2)解析：由y2＝－4x知，p＝2，焦点坐标F(－1,0)，准线方程为x＝1.依题意可知，当A，P及P到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，故点P的纵坐标为1，代入y2＝－4x，得x＝－，故点P的坐标为.答案：A二、填空题7．在抛物线y2＝－2px(p>0)中，p的几何意义是__________________________________.答案：焦点到准线的距离8．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的焦点，则p ＝________.解析：∵双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±，0)，又p>0，∴－＝－，∴p＝2.答案：29．(2019·南阳市一中开学考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则的最大值为________．解析：设|AF|＝a，|BF|＝b，过点A作AQ垂直于准线，过点B作BP垂直于准线．由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，∵以AB为直径的圆过点F，∴|AB|2＝a2＋b2，配方得，|AB|2＝(a＋b)2－2ab，又∵ab≤2，∴(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，得|AB|≥(a＋b)．所以≤＝，即的最大值为.答案：三、解答题10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．解：y2＝ax的焦点为，又直线l的斜率为2，则|OA|＝.又S△OAF＝|OF|·|OA|＝×·＝4，∴|a|＝8，得a＝±8. ∴抛物线的方程为y2＝±8x.11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试判断|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差数列．解：根据抛物线的定义，知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋.∵2x2＝x1＋x3，∴2x2＋p＝x1＋x3＋p.即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.∴|FP1|，|FP2|，|FP3|成等差数列．12．(2019·检测)已知定点A(1,0)，定直线l：x＝－2，动点P到点A的距离比点P到l的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·0，即k