高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第2章2.3.2 双曲线的简单几何性质 第一课时

第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．(2019·大庆市模拟)已知双曲线－＝1，则该双曲线的渐近线方程为(  )A．9x±4y＝0B．4x±9y＝0C．3x±2y＝0D．2x±3y＝0解析：令－＝0，得4x2＝9y2，∴2x＝±3y，∴渐近线方程为2x±3y＝0.答案：D2．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(  )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝3.∴＝，∴渐近线方程为y＝±x.答案：A3．(2019·月考)F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b >0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(  )A.B．C.D．解析：设等边三角形边长|BF2|＝m，且设|AF1|＝x，根据双曲线的定义有m＋x－m＝m－x＝2a，解得m＝4a，x＝2a.在△BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2·6a·4a·cos，化简得4c2＝28a2，即e＝.答案：D4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为(  )A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：由已知，得解得a＝3，b＝4.∴双曲线方程为－＝1.答案：A5．点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(  )A．2B．3C．4D．5解析：不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|分别为m－d，m，m＋d，(d＞0)，由题意，得解得m＝4d＝8a,2c＝5d，∴e＝＝＝5.答案：D 6．设F1，F2分别是双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足·0，解得e>＋1或e＜1－(舍去)．答案：B二、填空题7．(2018·北京卷)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.解析：由已知，得e＝＝，∴c＝a.又c2＝a2＋4，∴a2＝a2＋4，∴a2＝16.又a>0，∴a＝4.答案：48．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(，0)，则a＝________，b＝________.解析：∵－＝1的渐近线方程为y＝±x，又－＝1的渐近线方程为y＝±2x，∴＝2，即b＝2a.又C1的右焦点F(，0)，∴a2＋b2＝5a2＝5，∴a2＝1，a＝1，∴b＝2.答案：1 2 9．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(4,1)，且与y2－＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为______________．解析：由题意，得解得∴双曲线C的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.答案：－＝1 y＝±x三、解答题10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64共焦点；(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且经过点(－3，2)．解：(1)解法一：椭圆方程可化为＋＝1，易得焦点是(±4，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x，则＝.代入a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条渐近线为x＋y＝0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2－3y2＝λ(λ＞0)，即－＝1.由椭圆方程＋＝1，知c2＝a2－b2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，则λ＋＝48，所以λ＝36.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入双曲线方程，得－＝λ，解得λ＝. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1.11．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两渐近线的夹角．解：(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝或＝.又e＝＝，∴当＝时，e＝；当＝时，e＝.(2)∵e＝＝，∴＝，∴a＝b，∴双曲线渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的两条渐近线的夹角为90°.12．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．解：由直线l过(a,0)，(0，b)两点，得l的方程为bx＋ay－ab＝0，由原点到l的距离为c，得＝c，将b＝代入32－16·＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0，∴e＝或e＝2.∵b>a>0，∴e＝＝＝>，∴e＝应舍去，故所求离心率为2. 13．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(  )A.B．C．2D．解析：以OF为直径的圆x－2＋y2＝，减去x2＋y2＝a2得，－cx＝－a2，即x＝为两圆公共弦方程，弦长为c，半弦长，O到x＝的距离为，半径为a，三者满足勾股定理，∴＋＝a2，化简得，c4＋4a4－4a2c2＝0，解得c2＝2a2，∴e＝.答案：A