高中数学人教A版选修2-2（同步练习）第2章 2.1.1 合情推理

第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理课时跟踪检测一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是(  )A．归纳推理是一种由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能解析：归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程，故A不对．答案：A2．观察图形：☆…，则第30个图形比第27个图形中的“☆”多(  )A．59颗        B．60颗C．87颗D.89颗解析：观察图形知第n个图形中“☆”的个数为1＋2＋3＋…＋n＝，∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多－＝87(颗)，故选C.答案：C3．下面使用的类比推理中恰当的是(  )A．“若m·2＝n·2，则m＝n”类比得出“若m·0＝n·0，则m＝n”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“＝＋(c≠0)” D．“(pq)n＝pn·qn”类比得出“(p＋q)n＝pn＋qn”解析：由数的运算律及运算性质可判断只有C正确．答案：C4．(2019·高二月考)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(  )A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D.－g(x)解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案：D5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n>2，n∈N)，经计算可得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.观察上述结果，可得出的一般结论是(  )A．f(2n)>(n≥2，n∈N)B．f(n2)>(n≥2，n∈N)C．f(2n)>(n≥2，n∈N)D．f(2n)>(n≥2，n∈N)解析：由f(4)>2，得f(22)>；由f(8)>，得f(23)>；由f(16)>3，得f(24)>；由f(32)>，得f(25)>；… 以此类推，f(2n)>(n≥2，n∈N)，故选D.答案：D6．(2019·高二月考)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行：②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是(  )A．①②B．②③C．③④D.①④解析：根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．答案：B二、填空题7．已知{an}为等差数列，a6＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a11＝11×3，若{bn}为等比数列，且b6＝3，则在{bn}中类似的结论是________．答案：b1b2b3…b11＝3118．(2019·高二月考)多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________________________.解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝29．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令＝x，则有x＝，两边平方，得1＋x＝x2，解得x＝ (负值已舍去)”．可用类比的方法，求2＋的值为________．解析：按照类比的方法，则2＋＝x(x>0)，即x2－2x－1＝0，解得x＝1＋或x＝1－(舍)．答案：1＋三、解答题10．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋…＋10＝49照此规律，请写出第n个等式．解：观察等式第一个左边是1，右边是12，第二个等式，左边第一个数是2，连续3个数的和，右边是32，第三个等式第一个数是3，连续5个数的和，右边的值为52，第4个等式，第一个数为4，连续7个数的和，右边是72，第n个数为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋[n＋(2n－2)]＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.11．我们已经学过了等比数列，请你类比“等比数列”，给出“等积数列”的定义．若{an}为等积数列，且a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．解：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中这个常数叫做公积．由于{an}为等积数列，且a1＝2，公积为6，∴a2＝3，a3＝2，a4＝3，…，即{an}中的所有奇数项为2，所有的偶数项为3，∴an＝∴其前n项和Sn＝12．(2019·大庆实验高二月考)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.13．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题的计算方法，可以求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(  )A.aB．a C.aD.a解析：正四面体的底面面积为×a2＝a2，高为a，设正四面体内任一点到四个面的距离为h1，h2，h3，h4，∴S(h1＋h2＋h3＋h4)＝S·a，∴h1＋h2＋h3＋h4＝a，故选B.答案：B