高中数学人教A版选修2-2（同步练习）第1章 1.5.3 定积分的概念

第一章 导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念课时跟踪检测一、选择题1．已知自由下落物体的速度为v＝gt，则物体从t＝2到t＝3所走的路程是(  )A．gB．C．gD．g解析：s＝gtdt＝g.答案：D2．下列结论中成立的个数是(  )①x3dx＝·；②x3dx＝·；③x3dx＝·.A．0   B．1    C．2   D.3解析：由定积分的定义，易知②③正确，①错误，故选C.答案：C3．设阴影部分的面积为S，则如下图所示四种情况分别为 这四种图形对应的积分分别为S1＝－f(x)dx，S2＝[f(x)－g(x)]dx，S3＝f(x)dx－f(x)dx，S4＝f(x)dx，则正确的对应顺序为(  )A．S2，S1，S3，S4B．S4，S2，S1，S3C．S4，S1，S2，S3D．S4，S1，S3，S2答案：D4．若f(x)dx＝1，则[3f(x)＋2]dx＝(  )A．5B．3＋2bC．3＋2(a＋b)D．3＋2(b－a)解析：[3f(x)＋2]dx＝3f(x)dx＋2dx＝3＋2(b－a)．答案：D5．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是(  )A．c>a>bB．a>b>cC．a＝b>cD．a>c>b解析：根据定积分的几何意义，易知x3dxc，故选B.答案：B6．根据定积分的定义，x3dx不等于(  )A.3·B.3· C.3·D.3·解析：将[0,2]等分为n个小区间(i＝1,2，…，n)，若取ξi＝(i－1)，则x3dx＝3·；若取ξi＝，则x3dx＝3·；将[0,2]等分成2n个小区间(i＝1,2，…，2n)，则Δx＝，取ξi＝，则x3dx＝3·.故选B.答案：B二、填空题7．若f(x)dx＝3，g(x)dx＝2，则[f(x)＋g(x)]dx＝________.解析：由定积分的运算性质知，[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝3＋2＝5.答案：58.(1＋)dx＝________.解析：∵dx表示以(0,0)为圆心，2为半径的上半个圆的面积．∴dx＝2π，∴(1＋)dx＝－21dx＋dx＝1×4＋2π＝4＋2π.答案：4＋2π9．(2019·辽阳集美高二期中)定积分dx的值为________． 解析：因为y＝，所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分dx就是该圆的面积的四分之一，所以定积分dx＝.答案：三、解答题10．根据定积分的几何意义，求|x|dx的值．解：如图所示，|x|dx＝S1＋S2＝(－x)dx＋xdx＝×1×1＋×1×1＝1.11．(2019·牡丹江中学高二月考)利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)dx；(2)(2x＋1)dx；(3)(x3＋3x)dx.解：(1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图①所示．其面积为S＝·π·32＝π.由定积分的几何意义知dx＝π.(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图②.其面积为S＝(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.12．已知exdx＝e－1，exdx＝e2－e，x2dx＝.求exdx及(ex＋3x2)dx的值．解：exdx＝exdx＋exdx＝e－1＋e2－e＝e2－1.(ex＋3x2)dx＝exdx＋3x2dx＝e2－1＋3x2dx＝e2－1＋3×＝e2＋7.13．(2019·高二期中)抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，求－x2dx. 解：解方程组得x＝±2.∴阴影部分的面积为－x2dx.∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·＋＝2π＋.由定积分的几何意义得，－x2dx＝－x2dx＝π＋.