高中数学人教A版选修2-2（同步练习）阶段性测试题三

阶段性测试题三第三章 数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数(1－i)(2＋bi)是纯虚数，则实数b＝(  )A．－2        B．－1C．1D.2解析：(1－i)(2＋bi)＝2＋bi－2i－bi2＝2＋b＋(b－2)i，则b＋2＝0，∴b＝－2，故选A.答案：A2．若复数z＝，则＝(  )A．1B．－1C．iD.－i解析：z＝＝＝＝－i，∴＝i，故选C.答案：C3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(  )A．1B．1或－4C．－4D.0或－4解析：由题可得解得a＝－4，故选C.答案：C4．设i为虚数单位，则复数的虚部为(  )A．3iB．3C．－3iD.－3 解析：＝＝－3i－4，∴虚部为－3，故选D.答案：D5．在复平面内，复数z＝对应的点位于(  )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D.第四象限解析：z＝＝＝1－i，其对应的点位于复平面内的第四象限，故选D.答案：D6．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(  )A．2B．C.D.1解析：解法一：z＝＝，|z|＝＝，选C.解法二：|z|＝＝＝，故选C.答案：C7．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(  )A．2B．4C．8D.4解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，得x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4.当且仅当x＝，y＝时等号成立．答案：D 8．复数2019(i为虚数单位)的虚部是(  )A．iB．－iC．1D.－1解析：∵＝＝＝－i，∴2019＝(－i)2019＝－i2019＝－i2016·i3＝i，∴它的虚部为1，故选C.答案：C9．(2019·武邑中学高二月考)已知复数z＝1－i，则＝(  )A．2iB．－2iC．2D.－2解析：解法一：因为z＝1－i，所以＝＝＝－2i.解法二：由已知得z－1＝－i，从而＝＝＝＝－2i.答案：B10．已知复数z＝1－i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是(  )A．1－3iB．1＋3iC．－1＋3iD.－1－3i解析：∵z＝1－i，∴－z2＝－(1－i)2＝－(－2i)＝1＋i＋2i＝1＋3i， ∴－z2的共轭复数是1－3i，故选A.答案：A11．若z＝4＋3i，则＝(  )A．1B．－1C.＋iD.－i解析：＝＝－i，故选D.答案：D12．对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，则下列结论中正确的是(  )A．z－＝2aB．z·＝|z|2C.＝1D.z2≥0解析：∵z＝a＋bi，∴＝a－bi.∴z－＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，A不正确；z·＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，B正确；＝＝＝≠1，C不正确；z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，z2可能为虚数，不能比较大小，D不正确．综上，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是________．解析：∵z＝＝＝＝－1＋i，∴复数z的共轭复数是－1－i. 答案：－1－i14.2017等于________．解析：2017＝2017＝2017＝i2017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.故填i.答案：i15．若复数为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值为________．解析：＝＝＝＋i，∴解得a＝1.答案：116．若x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________.解析：设x＝a＋bi，(a，b∈R)，则y＝a－bi，∴(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴∴a2＝1，b2＝1，∴|x|＋|y|＝2＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)＋i.解：(1)原式＝5－2－3＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)原式＝＋i＝＋i＝0.18．(12分)设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数(1＋3i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．(1)求复数z； (2)若复数＋m2(1＋i)－2i＋2m－5为纯虚数，求实数m的值．解：(1)设z＝a＋bi(a、b∈R，且a>0)，由|z|＝，得a2＋b2＝5.又复数(1＋3i)z＝(a－3b)＋(3a＋b)i在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．则a－3b＝3a＋b，即a＝－2b，又a>0，所以a＝2，b＝－1，则z＝2－i.(2)＋m2(1＋i)－2i＋2m－5＝m2＋2m－3＋(m2－1)i为纯虚数，所以可得m＝－3.19．(12分)O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．解：由题意知1＋z2为实数，1＝－(10－a2)i，得1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i的虚部为0，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3；又分母不能为0，∴a＝3，此时，z1＝＋i，z2＝－1＋i，＝，＝(－1,1)，所以·＝.20．(12分)已知复数z满足z＋|z|＝1＋3i，求的值．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z＋|z|＝1＋3i，∴－1－3i＋a＋bi＝0，∴得∴z＝－4＋3i， ∴＝＝3＋4i.21．(12分)设m∈R，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数．(1)求m的值；(2)若－2＋mi是方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．解：(1)因为复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，所以解得所以m＝2.(2)因为－2＋mi是方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(－2＋2i)2＋p(－2＋2i)＋q＝0，即(－2p＋q)＋(2p－8)i＝0，所以解得22．(12分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴得∴b，c的值为b＝－2，c＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，即x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．