高中数学人教A版选修2-2（同步练习）第1章 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第一章 导数及其应用1．2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时跟踪检测一、选择题1．若f(x)＝cos，则f′(x)等于(  )A.         B．0C.D.－答案：B2．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝2x，则y′＝2x；④若f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，则f′(x)＝.其中正确的有(  )A．①②B．①②③C．②③④D.①②④答案：D3．(2019·长庆中学高二期中)若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则实数a＝(  )A．64B．32–C．16D.8 解析：因为y′＝－x－，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线方程为y－a－＝－a－(x－a)，由x＝0得y＝a－，由y＝0得x＝3a，所以S＝·a－·3a＝18，解得a＝64.故选A.答案：A4．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(  )A.B．C.∪D.∪解析：设P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0，∴直线l的斜率k＝cosx0∈[－1,1]．又直线l的倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α≤或≤α＜π.故选C.答案：C5．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则g′(x)－f′(x)＞0的解集为(  )A．(－∞，0)∪B.C.D.∪(0，＋∞)解析：∵g′(x)＝3x2，f′(x)＝2x，由g′(x)－f′(x)＞0，得3x2－2x＞0，得x＞或x＜0.故选A.答案：A6．(2019·高二月考)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(  ) A.B．C.D.解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.答案：B二、填空题7．函数f(x)＝的图象在x＝4处的切线的斜率为________．解析：∵f′(x)＝，∴f′(4)＝.答案：8．(2019·山大附中高二检测)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：∵y＝lnx，∴y′＝(x>0)，设A(x0，lnx0)则在点A处的切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，化简为y＝x＋lnx0－1，过点(－e，－1)，∴－1＝(－e)＋lnx0－1，∴lnx0－＝0，∴x0＝e时方程成立，又∵y＝lnx0－递减，∴方程有唯一解x0＝e，A(e,1)．答案：(e,1)9．(2019·武威一中阶段测试)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．解析：设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，所以k＝3x0ln3，所以y＝(3x0ln3)·x， 又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，所以x0＝＝log3e.所以k＝eln3.答案：eln3三、解答题10．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值．解：∵f′(x)＝，g′(x)＝2x，又f′(x)＋1＝g′(x)，∴＋1－2x＝0，得2x2－x－1＝0，得x＝1或x＝－(舍)，∴x的值为1.11．(2019·自贡富顺一中高二期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×－＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－都相切，求实数a的值．解：由y＝x3，得y′＝3x2， 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则在点(x0，x)处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，∵点(1,0)在切线上，∴－x＝3x(1－x0)，解得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－相切，联立Δ＝0可得a＝－；当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－相切，同理可得a＝.综上所述，a的值为－或.13．(2019·清水六中高二月考)若曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值．解：由题意，得f′(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，令x＝0，得y＝3a－2，令y＝0，得x＝.所以S＝×3a－2×a＝3，解得a＝.所以loga＝log＝2.