第4章相似三角形4.2由平行线截得的比例线段
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论.(重点)2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.(难点)学习目标
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1、BB1、CC1互相平行,且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢?abcDE=EFDFE新课引入观察与猜想:
NEABCDF直线,AB=BC.求证:DE与EF相等.M证明:分别过点D、E作DM∥a交l2于点M,EN∥a交l3于点N.易证:四边形ABMD和四边形BCNE是平行四边形.由AB=BC得DM=EN,易证△DME≌△ENF,∴DE=EF.新课讲解证明猜想:1平行线分线段成比例(基本事实)
如图(1),小方格的边长都是1,直线a∥b∥c,分别交直线m、n于点(1)计算,你有什么发现?新课讲解合作探究:平行线分线段的关系
(2)将b向下平移到如图2的位置,直线m、n与直线b的交点分别为.你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将b平移到其他位置呢?(图2)猜想:在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例吗?新课讲解
如果,那么与相等吗?解:相等.理由如下,如图,我们分别找出AB的二等分点和BC的三等分点,再过它们作AD的平行线.PMHQNG由平行线等分线段可知:新课讲解证明猜想(特殊):
如果,那么与相等吗?解:相等.理由如下:我们分别找出AB的n等分点和BC的m等分点,再过它们作AD的平行线.平行线分线段两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例.成比例n个m个n个m个新课讲解证明猜想(一般):
基本事实:两条直线被一组平行线所截,所截得的对应线段成比例.符号语言:若a∥b∥c,则.bca新课讲解归纳总结:
1.直线AB//CD//EF,若AC=3,CE=4,则,2.直线,若AC=4,CE=6,则BD=3,BF=新课讲解练一练:
l2l1l2l3l4l5l1ABCDEABCDEl3l4l5CABDEABCDE找一找:如图2、图3,l3∥l4∥l5,请指出成比例的线段.猜想:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.图2图3新课讲解平行线分线段成比例定理的推论2
如图,在△ABC中,已知DE∥BC,求证:及.ABCDEMN如图,过点A作直线MN,使MN//DE.∵DE//BC,∴MN//DE//BC.因此AB、AC被一组平行线MN、DE、BC所截.新课讲解证明猜想:
同时还可以得到则由平行线分线段成比例可知新课讲解
新课讲解归纳总结:平行线分线段成比例的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边(或其延长线)相交,截得的对应线段成比例.
例1:如图,在△ABC中,E、F分别是AB和AC的点,且EF∥BC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?AEBCF解:∵EF∥BC,∴∵AE=7,EB=5,FC=4,∴新课讲解典例精析:
(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?AEBCF解:∵EF∥BC,∴∵AB=10,AE=6,AF=5,∴∴FC=AC–AF=新课讲解
例2:如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,且DE//BC,EF//AB,若AD=2BD.(1)求的值.(2)求证:.ABCDEF解:(1)∵DE//BC,EF//AB,又AD=2BD,(2)∵DE//BC,EF//AB,∴四边形BDEF是平行四边形,∴DE=BF.新课讲解
1.如图,已知l1∥l2∥l3,下列比例式中错误的是()A.B.C.D.D随堂即练
3.在△ABC中,ED//AB,若,则随堂即练2.如图,DE∥BC,已知ABCED
ABCDE4.已知DE//BC,AB=15,AC=9,BD=4,求AE的长.解:∵DE∥BC,ABACBDCE∴————.=即随堂即练
5.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,CM交AB于点P,DN∥CP.若AB=6cm,求AP的长.解:∵AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,∴DB=DC,AM=MD.∵DN∥CP,又∵AB=6cm,∴AP=2cm.随堂即练
平行线分线段成比例平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例基本事实推论两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例课堂总结