12.5 因式分解【教学目标】一、基本目标1．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2.能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．3．掌握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法．二、重难点目标【教学重点】掌握因式分解的意义及用提公因式法和公式法把多项式分解因式．【教学难点】综合运用提公因式法和公式法分解因式．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P42～P45的内容，完成下面练习．【3min反馈】一、因式分解的概念1．把下列多项式写成整式的积的形式：x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1)；ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．2．把一个多项式化成几个整式的乘积_的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．3．多项式与因式分解的关系：多项式整式的乘积4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是_③_.(填序号)①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②a2－1＋b2＝(a＋1)(a－1)＋b2；③7x－7＝7(x－1)．二、公因式与提公因式法1．公因式：如果一个多项式中_各项_都含有一个_公共的_因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如pa＋pb＋pc中，p_是这个多项式的公因式．2．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式_提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的_乘积的_形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(_a＋b＋c_)．3．多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是_3ab_.
4．把下列各式分解因式：(1)3x2－6xy；(2)3a2(x－y)3－4b2(y－x)2.解：(1)x(3x－6y)． (2)(x－y)2(3a2－4b2)．三、公式法(一)平方差公式1．(1)(x＋2)(x－2)＝ x2－4 ；(y＋5)(y－5)＝ y2－25 .(2)根据(1)中等式填空：x2－4＝ (x＋2)(x－2) ；y2－25＝ (y＋5)(y－5) .2．平方差公式：a2－b2＝_(a＋b)(a－b)_．即两个数的平方差，等于_这两个数的和_与_这两个数的差的积_．3．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是__②__.(填序号)①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.(二)两数和(差)的平方1．填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．根据(1)中的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.3．形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．4．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是___③__.(填序号)①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】把下列多项式分解因式：(1)(a＋b)(a－b)－a－b；(2)m2(16x－y)＋n2(y－16x)；(3)16x4－y4；(4)(a2＋4)2－16a2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项的特点→确定公因式→公式法分解因式．【解答】(1)原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)＝(a＋b)(a－b－1)．(2)原式＝(16x－y)(m2－n2)＝(16x－y)·(m＋n)(m－n)．(3)原式＝(4x2＋y2)(4x2－y2)＝(4x2＋y2)·(2x＋y)(2x－y)．(4)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)·(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.【互动总结】
(学生总结，老师点评)(1)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．(2)在平方差公式和完全平方公式中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．【例2】计算：(1)5722×－4282×；(2)342＋34×32＋162.【互动探索】(引发学生思考)观察式子，看有什么特点，是否符合乘法公式的结构特征？【解答】(1)原式＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.(2)原式＝(34＋16)2＝2500.【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，有时可以运用乘法公式使运算简便．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列从左到右的变形中是因式分解的有( B )①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是( C )A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn23．下列分解因式正确的是( B )A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．x2－x＋2＝x(x－1)＋2D．x2＋2x－1＝(x－1)24．当整数a为_－4时(只写一个)，多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．5．若x2＋(m－3)x＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于_－5或11_.6．把下列多项式分解因式：(1)x2(a－1)＋x(1－a)；(2)9(m＋n)2－(m－n)2；(3)2a3－4a2b＋2ab2；(4)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
解：(1)原式＝x2(a－1)－x(a－1)＝(a－1)·(x2－x)＝x(a－1)(x－1)．(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．(3)原式＝2a(a2－2ab＋b2)＝2a(a－b)2.(4)原式＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9＝(x2－1－3)2＝(x＋2)2(x－2)2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．【互动探索】找出248－1的特点→用平方差公式化简→得出结论．【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)·(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，∴这两个数是65和63.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！
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