华东师大版数学八年级上册教案12.3 乘法公式

12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差(第1课时)【教学目标】一、基本目标掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．二、重难点目标【教学重点】平方差公式．【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P30～P32的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．根据条件列代数式：(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差．(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ，也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于_这两个数的平方差_．2．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝__80_.3．计算(3－x)(3＋x)的结果是_9－x2_.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【例2】计算：100×99.【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为，用平方差公式计算．【解答】原式＝＝10000－＝9999.【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是_(a＋b)(a－b)＝a2－b2_.图1图23．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为_4a2－9b2_.4．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为_±36_.5．计算：(1)；(2)；(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)． 解：(1)x2－y2. (2)0.49a4b2－x2. (3)256a8－6561b8.6．运用平方差公式简算：(1)20×19；  (2)13.2×12.8.解：(1)原式＝×＝400－＝399.(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)．∵n为正整数，∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【练习设计】请完成本课时对应练习！2 两数和(差)的平方(第2课时)【教学目标】一、基本目标1．掌握两数和(差)的平方公式及其结构特征．2．会用两数和(差)的平方公式进行简单计算．二、重难点目标【教学重点】掌握两数和(差)的平方公式的结构特征．【教学难点】灵活应用两数和(差)的平方公式解决问题． 【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P32～P34的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．按要求列代数式：(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.2．计算下列各式：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.3．(1)两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2_.这就是说，两数和的平方，等于_这两数的平方和_加上_它们的积的2倍．(2)两数差的平方公式：(a－b)2＝__a2－2ab＋b2_.这就是说，两数差的平方，等于_这两数的平方和_减去_它们的积的2倍．4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2___.图1图2环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】运用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；   (2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；  (4)(a＋b＋c)2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用两数和(差)的平方公式进行计算？【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)两数和(差)的平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．【例2】计算：(1)9982；(2)20182－2018×4034＋20172.【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1000000－4000＋4＝996004.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用两数和(差)的平方公式可简便运算．活动2 巩固练习(学生独学)1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是( C )A．(－1＋x2y2)2B．(1＋x2y2)2C．(－1＋x2y)2D．(－1－x2y)22．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为( A )A．1B．－1C．±1D．无法确定3．下列关于962的计算方法正确的是( D )A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝92164．运用完全平方公式计算：(1)(－3a＋2b)2； (2)(a＋2b－1)2；(3)50.012；   (4)49.92.解：(1)4b2－12ab＋9a2.(2)a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.(3)2501.0001.(4)2490.01.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．(1)a2＋b2；(2)(a－b)2.【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？【解答】(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.把a＋b＝4，ab＝－5代入，得a2＋b2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26. (2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.把a＋b＝4，ab＝－5代入，得(a－b)2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36.【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；(3)(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)；(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝4ab；(5)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(6)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(7)ab＝2－2；(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]；(9)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．字母表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【练习设计】请完成本课时对应练习！