华东师大版数学八年级上册课件第14章小结与复习

第14章勾股定理小结与复习 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的.即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有.平方a2＋b2＝c2知识梳理1．勾股定理 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，.勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a、b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________；当a是斜边时，第三边c＝_________.注意：只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．1．勾股定理知识梳理 2．勾股定理的验证据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：知识梳理 如图，以a、b为直角边(b>a)，以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，它是一个边长为c的正方形，它的面积等于.而四边形EFGH是一个边长为的正方形，它的面积等于.b－ac2(b－a)2∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，∴4×ab＋(b－a)2＝c2，∴a2＋b2＝c2.2．勾股定理的验证知识梳理 3．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是三角形．平方和直角c2知识梳理 注意：运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2＋b2＝c2之类的错误．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是；(2)说明三角形中有两边互相；(3)用勾股定理的逆定理．直角垂直3．勾股定理的逆定理知识梳理 4．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个数，称为勾股数，即满足a2＋b2＝c2的三个数a、b、c，称为勾股数．注意：勾股数都是正整数．5．勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；正整正整直角知识梳理 5．勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；(3)在 上作表示等数的点的问题；(4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．直角数轴知识梳理 【例1】在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．分析：这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边.在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b•BD＝ac，考点讲练勾股定理1 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（  ）A.25B.14C.7D.7或25D【方法总结】【练习】考点讲练 【例2】已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．分析：要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，从而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是直角三角形．勾股定理的逆定理及勾股数2考点讲练 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．【方法总结】考点讲练 3.下列各组数中，是勾股数的为（  ）A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，92.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．(2)(4)C【练习】考点讲练 【例3】如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：勾股定理的应用3考点讲练 考点讲练 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”——把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间线段最短”求解．要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况．4.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（  ）DA.B.C.D.5【方法总结】【练习】考点讲练 【例4】已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（  ）解析：由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米.∵在直角△ABC中，AC为直角边，∴AC==24米.已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）.∵在直角△CDE中，CE为直角边，∴CE==15（米），BE=15-7=8（米）．故选C．A．4米B．6米C．8米D．10米C考点讲练 5.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？【练习】考点讲练 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，所以AB2＝22－1.42＝2.04.因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，所以卡车可以通过．即卡车可以通过，但要小心．解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.考点讲练 【例5】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．分析：欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解．方程思想本章数学思想及解题方法4考点讲练 解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①.设CD＝xcm，则AD＝BD＝(8－x)cm，代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，化简，得36＝64－16x，所以x＝＝1.75，即CD的长为1.75cm.考点讲练 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为.【方法总结】【练习】考点讲练 【例6】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求四边形ABCD的面积；（2）求∠ABC的度数．分析：（1）先求出正方形EFGH的面积，再分别求出四个小三角形的面积，进而可得出四边形ABCD的面积；（2）先根据勾股定理求出AB、BC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，进而可得出∠ABC的度数．数形结合思想考点讲练 解：（1）∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴S□EFGH=5×5=25，∴S四边形ABCD=S□EFGH-S△ADE-S△AFB-S△BCG-S△CDH=25-×2×3-×2×4-×1×2-×3×3=25-3-4-1-=12.5.（2）在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=22+42=20，在Rt△BGC中，BC2=BG2+CG2=12+22=5，∴AB2+BC2=20+5=25.又∵AC2=52，∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形，∴∠B=90°．考点讲练 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想.勾股定理是由图形的特征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关系（三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2）;勾股定理的逆定理由数量之间的关系（a2+b2=c2）得到图形的特征（以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形）.只有把数和形有机地结合起来，才能更好地理解和应用勾股定理及其逆定理解决问题.对于网格中图形的有关计算问题，往往需要通过数形结合，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来计算.【方法总结】考点讲练 解：（1）S四边形ABCD=6×6-×2×6−×2×4−×1×2−×2×5−1×2=18.(2)∵AB2=22+42＝20，BC2=12+22＝5，AC2=32+42＝25，AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°．7.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A、B、C、D都在格点上．（要求：写出必要的过程）（1）求四边形ABCD的面积；（2）求∠ABC的度数．【练习】考点讲练 转化思想【例7】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于．2π解析：∵S1=π=πAC2，S2=π=πBC2，∴S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．考点讲练 利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则图形转化为直角三角形面积的和或差来解决.8.如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=10，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2=．12.5π【方法总结】【练习】考点讲练 勾股定理及逆定理勾股定理的应用勾股定理利用勾股定理和逆定理解决实际问题勾股数确定几何体上的最短距离a2＋b2＝c2勾股定理的验证课堂小结