华东师大版数学九年级上册教案24.2 直角三角形的性质

24.2 直角三角形的性质【教学目标】一、基本目标1．掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用．2.经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法．培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用．【教学难点】直角三角形斜边上的中线性质定理的证明方法．【教学过程】环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P102～P103的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．直角三角形的两个锐角__互余__.2．直角三角形两直角边的平方和等于__斜边__的平方(勾股定理)．3．直角三角形斜边上的中线等于__斜边的一半__.4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于__斜边的一半__.5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么与∠B互余的角有__∠A、∠BCD__.6．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD＝4，则AB＝__8__.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD. 【互动探索】(引发学生思考)观察法：E是Rt△ABC、Rt△ADC斜边上的中点→作辅助线，构造直角三角形的中线→得等腰三角形BED→由等腰三角形“三线合一”性质得结论．【解答】如图，连结BE、DE.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC＝DE.∵F是BD的中点，∴EF⊥BD.【互动总结】(学生总结，老师点评)由中点我们一般可以联想到中位线和直角三角形斜边上的中线．熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．【例2】如图，在∠ABC中，∠B＝30°，AC＝，等腰Rt△ACD斜边AD在AB边上，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)分析法：求BC长，有∠B＝30°→作辅助线，构造直角三角形→利用直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半求解．【解答】过点C作CE⊥AB交AB于点E.∵等腰直角△ACD，∴△AEC是等腰直角三角形．设CE＝x，则2x2＝()2，∴x＝1，即CE＝1.在Rt△CEB中，∠B＝30°，∴BC＝2CE＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)由∠B＝30°我们应该联想到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．因为∠B不在直角三角形中，所以我们要添加辅助线构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( C ) A．15°B．25°C．35°D．45°2．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( D )A．5B．6C．7D．83．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且EC＝5，则AE的长为__10__.4．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点(不与A、B重合)，DE⊥BC于点E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．解：△PAE为等边三角形．理由：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PC＝CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD＋∠PAC＝2∠ACD.同理，在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A＝30°，∠DBC＝60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度． 【互动探索】转化法：实际问题转化为数学问题→得BC＝BA→直角三角形中，利用∠A＝30°→得BD与CB的数量关系→结合已知得AD的长度．【解答】∵C在D的正西方向，∴∠ADC＝90°.∵∠A＝30°，∠DBC＝60°，∠DBC＝∠A＋∠BCA.∴∠BCA＝30°，∴∠BCA＝∠A，∴BC＝BA.在Rt△CBD中，∠DBC＝60°，∴∠BCD＝30°，∴DB＝CB，∴AD＝AB＋DB＝AB＋CB＝AB＋AB＝AB.∵AB＝24×(5－2)＝72(海里)，∴AD＝AB＝×72＝108(海里)．即AD的长度是108海里．【互动总结】(学生总结，老师点评)灵活运用含30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)【练习设计】请完成本课时对应练习！