人教B版数学高中必修第一册课件3.3 函数的应用(一) 3.4 数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点

第三章3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.会利用所学知识,解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学应用意识. 基础落实•必备知识全过关 知识点1常见的函数模型(1)一次函数模型.形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象解题时,应注意:①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图象是一条直线.(2)二次函数模型.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题. (3)分段函数模型.这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数(形如y=,k≠0)、二次函数模型中两种及以上的综合. 过关自诊1.在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示通常需要先画出函数图象,根据图象来确定两个变量的关系,选择函数类型.2.函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义. 知识点2实际问题的函数建模实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.一般步骤为:(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量.(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解. 过关自诊某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元? 解设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1050,x∈[250,400].因为y=0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1050=1170(元).答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1170元. 重难探究•能力素养全提升 探究点一一次函数模型的应用【例1】(1)某厂日生产文具盒的总成本y(单位:元)与日产量x(单位:套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(单位:个),付款y(单位:元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠? (1)答案D解析因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.(2)解由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;当4≤xy2,优惠办法②更省钱. 规律方法1.一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.2.一次函数的最值求解一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 变式训练1若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:h)的函数关系用图象表示为图中的()答案B解析蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D,更不可能是A,C.故选B. 探究点二二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?分析本题中平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题. 解(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x500,应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500min,由解析式可得上网时间为900min. 规律方法分段函数的实际应用1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个. 变式训练3为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款? 解(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52-40)×36×100=1200t+13200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴当p=55时,能更早还清贷款,又(100×450-1200×20-13200)×12=93600,=5,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. 素养培优规范答题【典例】季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后,当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系式为Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N,试问该服装第几周每件销售利润最大?最大利润是多少?(注:每件销售利润=售价-进价) 解(1)由题意,知当t∈[0,5]时,P=10+2t;当t∈(5,10]时,P=20;当t∈(10,16]时,P=20-2(t-10)=40-2t. (2)设每件的销售利润为L元,则L=P-Q,故当t∈[0,5],t∈N时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12=0.125t2+6,当t=5时,Lmax=9.125;当t∈(5,10],t∈N时,L=20+0.125(t-8)2-12=0.125(t-8)2+8,当t=6或10时,Lmax=8.5;当t∈(10,16],t∈N时,L=40-2t+0.125(t-8)2-12=0.125(t-16)2+4,当t=11时,Lmax=7.125.综上可知,第五周每件销售利润最大,最大利润为9.125元. 方法点睛1.分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.2.分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的. 学以致用•随堂检测全达标 1.面积为S的长方形的某边长度为x,则该长方形的周长L与x的函数关系为()答案C 2.某生产厂家的生产总成本y(单位:万元)与产量x(单位:件)之间的关系式为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为()A.52B.52.5C.53D.52或53答案D解析因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),所以x=52或x=53时,f(x)有最大值. 3.已知直角梯形ABCD,如图1所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图2所示,则△ABC的面积为. 答案16 4.(2022高一期末)疫情防控期间,呼吸机成为紧缺设备,某企业在国家科技的支持下,进行设备升级,生产了一批新型的呼吸机,已知该种设备年固定研发成本为60万元,每生产一台需另投入100元,设该公司一年内生产该设备x万台,且全部售完,由于产能原因,该设备产能最多为32台,且每万台的销售收入f(x)(单位:万元)与年产量x(单位:万台)的函数解析式近似(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式.(年利润=年销售收入-总成本);(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大? 本课结束