人教B版数学高中必修第一册课件2.2.4 均值不等式及其应用

第二章2.2.4均值不等式及其应用 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式.2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点1均值不等式 名师点睛1.重要不等式对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.不等式a2+b2≥2ab的变形 3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同 4.均值不等式的变形第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值. 过关自诊答案B 2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但无最小值C.有最小值2,但无最大值D.有最大值2,有最小值0答案A解析因为a,b∈R,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.提示(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在均值不等式a+b≥2中,a,b>0.(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).(3)证明的方法都是作差比较法.(4)都可以用来求最值. 知识点2重要结论已知x,y都为正数,则1.若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2.2.若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值. 名师点睛利用均值不等式求最值注意事项在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.原因是这里的x不一定为正数.只有各项为正数时才能利用均值不等式.二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形. 另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致. 过关自诊1.已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为.2.应用两个重要结论时,要注意哪些事项?提示应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 重难探究•能力素养全提升 探究点一对均值不等式的理解分析利用均值不等式时需注意使用条件. 答案(1)D(2)C 规律方法1.均值不等式(a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系.2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面:(1)成立的条件是a,b都是正数; 变式训练1设00,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82(2)当x>1时,的最小值为.分析根据已知条件,直接利用均值不等式求最值. 答案(1)C(2)8 规律方法利用均值不等式求最值时要注意:(1)x,y一定要都是正数.(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.(3)等号是否能够成立. 探究点三间接利用均值不等式求最值分析(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.(2)先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值. 规律方法通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 素养培优均值不等式的变形技巧技巧一:裂项分析先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号). 技巧二:添项分析当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6. 技巧三:放入根号内或两边平方分析求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在. 学以致用•随堂检测全达标 1.y=2x+(x>0)有()A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案B 答案8 本课结束