人教B版数学高中必修第一册课件2.2.1 不等式及其性质

第二章2.2.1不等式及其性质 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.了解日常生活中的不等关系.2.掌握不等式的性质.3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证明. 基础落实•必备知识全过关 知识点1不等关系与不等式、实数大小的比较1.不等关系与不等式(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者aba-bb是否一定成立?请说明理由.提示不一定成立.如当c=1,d=-1时,c>d,此时若a=-1,b=1,也满足,但不满足a>b. 知识点2不等式的性质1.不等式的性质(1)性质1:如果a>b,那么a+c>b+c;(2)性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;(3)性质3:如果a>b,cc,那么a>c.(5)性质5:a>b⇔bc,则a>c-b;(2)推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;(3)推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(4)推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1);(5)推论5:如果a>b>0,那么. 名师点睛1.对不等式性质的理解(1)性质5和性质4,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识.(2)性质1(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.(3)性质2,3(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(4)推论2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.(5)推论3和推论4(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.(6)性质1和性质5是双向推导,其他是“单向”推导. 2.不等式性质的适用条件(1)在应用不等式的性质4时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如a≤b,bbc2;若无c≠0这个条件,即若a>b,则ac2>bc2就是错误的. (3)若a>b>0,则an>bn>0(n∈N,n>1)的成立条件是“n为大于1的自然数,a>b>0”.假如去掉n为大于1的自然数这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-1>2-1,即的错误结论,假如去掉b>0这个条件,取a=3,b=-4,n=2,那么就会出现32>(-4)2的错误结论.不等式相乘时,不等式不仅要同向,而且还要各数都为正. 过关自诊1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(3)已知a>b,e>f,c>0,则f-acb,则ac2bc2;(2)若a+b>0,bb,c0时,有ac2>bc2,当c2=0时,有ac2=bc2,故应填“≥”;(2)∵a+b>0,b0,∴bb-d,故应填“>”;(4)∵x2-3x+2=(x-2)(x-1),而x3x,故应填“>”. 3.利用不等式性质应注意哪些问题?提示在使用不等式时,一定要弄清不等式(组)成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意. 知识点3直接证明与间接证明1.直接证明(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q (2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件2.间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 过关自诊答案C 重难探究•能力素养全提升 探究点一应用不等式的性质证明不等式 规律方法证明不等式的解题策略1.利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.3.除了熟练掌握不等式的性质外,还应掌握一些常用的证明方法.如作差比较法、作商比较法、分析法等. 探究点二利用不等式的性质求范围【例2】已知1