第一章1.2.1命题与量词
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解命题的概念,并会判断命题的真假.2.理解全称量词、存在量词的含义.3.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断.
基础落实•必备知识全过关
知识点1命题的概念与分类(1)命题的概念:可供真假判断的陈述语句就是命题.(2)分类
名师点睛对命题的理解①有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现,但目前不能确定这些语句的真假,随着时间的推移,总能确定它们的真假,这一类语句仍然是命题;②命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;③数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题;④数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.
(3)命题的形式在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,通常我们把这种形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.名师点睛对命题形式的理解(1)“若p,则q”只是命题的一种形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,就有q”也是常见的命题形式.(2)将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件p中.(3)改写前后命题的真假不发生变化.(4)还有一些命题不能写成“若p,则q”的形式,如“某些三角形没有外接圆”.
过关自诊1.(多选题)下列四个命题中是真命题的是()A.一切实数均有相反数B.∃x∈N,使得方程ax+1=0无实数根C.梯形的对角线相等D.有些三角形不是等腰三角形答案ABD解析对于A,一切实数均有相反数,正确;对于B,当x=0时,方程ax+1=0无实数根,正确;对于C,只有等腰梯形的对角线相等,错误;对于D,有些三角形不是等腰三角形,正确.故选ABD.
2.下列命题中,真命题共有()①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则a+c>b+c;④矩形的对角线互相垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析①②④是假命题,③是真命题.3.在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?提示对事情做出正确或不正确的判断的句子称为命题.
知识点2全称量词与全称量词命题(1)概念一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题.(2)表示全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为∀x∈M,r(x).
名师点睛对全称量词与全称量词命题的理解(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.(4)全称量词命题中含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
(3)全称量词命题的真假判定要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得r(x0)不成立即可.
过关自诊1.下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数②有的矩形是正方形③三角形的内角和是180°A.0B.1C.2D.3答案C解析①③是全称量词命题.
2.观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m≤8;Q:对所有的m∈R,m≤8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
知识点3存在量词与存在量词命题(1)概念“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,称为存在量词命题.(2)表示存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为“∃x∈M,s(x)”.
名师点睛对存在量词与存在量词命题的理解(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
(3)存在量词命题真假判定要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使s(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.
过关自诊1.下列命题中,是真命题的是()A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,x2+2x>0C.∃x∈R,8;Q:存在一个m0∈Z,m0>8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
重难探究•能力素养全提升
探究点一命题的判断【例1】判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?(2)求证是无理数.(3)并非所有的人都喜欢苹果.(4)大角所对的边大于小角所对的边.(5)x∈R,x2+4x+4≥0.分析根据命题的定义进行判断.
解(1)疑问句,没有对“垂直于同一条直线的两条直线平行”作出判断,不是命题.(2)祈使句,不是命题.(3)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.(5)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.规律方法判断一个语句是不是命题的关键点(1)“是陈述句”;(2)“可以判断真假”.这两个条件缺一不可.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.
变式训练1下列语句是否为命题?如果是,判断其真假.(1)函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?(2)偶数的平方仍是偶数.解(1)该语句是疑问句,不能判断其真假,故不是命题;(2)所有的偶数的平方都是偶数,无一例外,故该语句是命题且为真命题.
探究点二全称量词命题与存在量词命题的辨析【例2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)梯形的对角线相等.(2)存在一个四边形有外接圆.(3)二次方程都存在实数根.分析首先确定量词,然后判断命题的类型.解(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.(2)命题为存在量词命题.(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
规律方法判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练2判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°.(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|.(3)对任意a,b∈R,若a>b,则解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
探究点三全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例3】判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1>.(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.(3)存在一个数既是偶数又是负数.(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.
(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-312},B={x|x>a},若∀a∈A,都有a∈B成立,求实数a的取值范围.分析把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系.
规律方法求解含有量词命题中参数范围的策略已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
素养培优分类讨论思想的应用【典例】命题p:关于x的一元二次方程x2-4x+4m=0有两个不相等的根,且一正一负;命题q:关于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有两个正根.若命题p和命题q只有一个为真,你能求出m的取值范围吗?
方法点睛本题考查真假命题的判断,一元二次方程根与系数的关系,同时考查了分类讨论思想的应用.求解时灵活运用韦达定理是解题的关键.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选题)下列命题是真命题的是()A.存在x
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