第一章第1课时 集合
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的关系.2.理解集合中元素的特征性质.3.理解空集的含义及其表示方法.4.理解集合的分类,掌握常用数集的表示方法.
基础落实•必备知识全过关
知识点1集合的概念(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示.(2)元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合的元素通常用英文小写字母a,b,c,…表示.
名师点睛集合概念的三个性质(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等,即对象形式多样化.
过关自诊1.下列判断正确的个数为()①所有的等腰三角形构成一个集合;②倒数等于它自身的实数构成一个集合;③质数的全体构成一个集合;④由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.A.1B.2C.3D.4答案C
2.是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.
知识点2元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于Aa∈Aa属于A不属于如果a不是集合A的元素,就说a不属于Aa∉Aa不属于A
名师点睛概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象英文小写字母a,b,c,…a∈A或a∉A集合一些对象组成的整体英文大写字母A,B,C,…
过关自诊集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是()A.∈MB.0∉MC.1∈MD.-∈M答案D2.设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?提示3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8∉M.
知识点3集合中元素的特点集合中元素的三大特性:(1)确定性:集合的元素必须是确定的.(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.(3)无序性:集合中的元素可以任意排列.
名师点睛对集合中元素的特点的理解(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能组成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d.
过关自诊1.集合{3,x,x2-2x}中实数x满足的条件是.答案x≠0且x≠-1且x≠3
2.(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180cm的同学能否构成一个集合?说明了什么问题?提示比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”的标准不确定;身高不低于180cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180cm”标准确定,对班内任意一个同学,是否“身高不低于180cm”是明确的.说明集合中元素具有确定性.
(2)学校超市一天内进了两次货,第一次进的中性笔、矿泉水、面包,第二次进的火腿肠、矿泉水、方便面,把这天进的货物看作一个集合,集合中有哪几个元素?说明什么?提示有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、方便面.说明集合中的元素是不重复出现的.重复的元素只能算一个.也就是说,集合中元素具有互异性.(3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次座位,班级这个集合改变了吗?说明什么?提示集合没有改变,因为元素是一样的.说明集合中元素具有无序性.
知识点4集合的分类及相等集合(1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀.空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.
过关自诊方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?提示该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,为空集,因此集合中元素个数为0.
知识点5常见数集及其表示名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+或N*ZQR
过关自诊用符号“∈”或“∉”填空.答案(1)∈(2)∉(3)∈(4)∉(5)∈
重难探究•能力素养全提升
探究点一集合中元素的确定性【例1】判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)2021年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员;(2)方程x2-1=0的所有实根;(3)的近似值的全体;(4)大于0的所有整数.解(1)能,因为男队员是确定的.(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.(4)能,因为大于0的整数是确定的.
规律方法集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.
变式训练1下列各组对象能否构成集合:(1)世界上最高的山峰;(2)中国国旗的颜色;(3)充分小的负数的全体;(4)立方等于本身的实数.解(1)世界上最高的山峰,是确定唯一的,能构成集合.(2)中国国旗的颜色;由红、黄两种组成,颜色确定,能构成集合.(3)充分小的负数的全体;充分小的负数不确定,不能构成集合.(4)立方等于本身的实数;满足条件的实数是确定的,能构成集合.
探究点二集合中元素的互异性【例2】已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.解由题意可知,a=1或a2=a,且a2≠1(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.规律方法集合中元素的特征性质集合中的元素有互异性,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.
变式探究(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.(2)已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a满足的条件.解(1)由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.(2)若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1.
探究点三元素与集合的关系【例3】已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.分析-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.解由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;,所以x≠-1规律方法解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.
变式训练2用符号“∈”或“∉”填空.答案(1)∈(2)∉(3)∈
素养培优分类讨论思想的应用分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学的划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.
【典例】已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.解当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.当x2=1时,得x=±1.若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.综上可知,符合题意的x的值为-1.方法点睛x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选题)给出下列说法,其中正确的有()A.中国的所有直辖市可以构成一个集合B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合C.正偶数的全体可以构成一个集合D.大于2011且小于2016的所有整数不能构成集合答案AC解析中国的所有直辖市可以构成一个集合,A正确;“较胖的同学”标准不确定,不能构成集合,B错误;正偶数的全体可以构成一个集合,C正确;大于2011且小于2016的所有整数能构成集合,D错误.
2.(2022湖南岳阳高一期末)下列元素与集合的关系中,正确的是()A.-1∈NB.0∉N+答案B
3.用符号∈或∉填空.(1)设集合A是正整数构成的集合,则0A,A,1A;(2)设集合B是小于的所有实数构成的集合,则2B,1+B;(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3C,5C;(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,则-1D,(-1,1)D.
答案(1)∉∉∈(2)∉∈(3)∉∈(4)∉∈解析(1)依次应填∉,∉,∈.(3)由于n是正整数,所以n2+1≠3.而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填∉,∈.(4)由于集合D中的元素是满足y=x2的有序实数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D.又(-1)2=1,所以依次应填∉,∈.
4.下列对象构成的集合是空集的是.(填序号)①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0的解集.答案③解析因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1-4
微信/支付宝扫码支付