人教B版数学高中必修第二册课件6.2.3 平面向量的坐标及其运算

第六章6.2.3平面向量的坐标及其运算 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.理解向量坐标的概念,掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.了解用坐标表示平面向量共线条件的推导过程,理解坐标表示的平面向量的共线条件.会用坐标表示的平面向量的共线条件解决问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点1平面向量的坐标1.向量垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.2.正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.3.向量的坐标一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y). 名师点睛1.在平面直角坐标系中,向量和坐标是一一对应关系由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.2.向量的坐标的注意点(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与其终点的坐标相同;如果向量不以坐标原点为始点,则向量的坐标就与其终点的坐标不同.(2)向量a的坐标(x,y)既能刻画向量a的模,同时也能刻画向量a的方向.(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形. 过关自诊1.向量的正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).2.点的坐标与向量的坐标有何区别与联系?提示(1)表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.(2)意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).(3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点2平面上向量的运算与坐标的关系1.向量加法与减法运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v是两个实数,则(1)ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);(2)ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2). 3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则4.向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2. 名师点睛描述两向量共线的三种方法1.几何表示法:若非零向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.2.代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时x2y1=x1y2.用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.3.比例形式表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时,(x2,y2≠0).这种形式不易出现搭配错误,但有x2,y2≠0的限制. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.()×√×× A.4B.8C.0D.2答案A 重难探究•能力素养全提升 探究点一求向量的模【例1】设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于()答案D解析由a∥b,得y=-4,b=(-2,-4),∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4.故选D.规律方法求向量的模的基本策略 变式训练1若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐标. 探究点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=,b=. (1)答案(3,5)(-2,-2)解析由a+b=(1,3),a-b=(5,7),所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).(2)解(方法一)待定系数法 规律方法平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 探究点三向量坐标运算的综合应用(1)点P在第一、三象限角平分线上时λ的值;(2)点P在第三象限内时λ的取值范围. 规律方法1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值.2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求参数的值. 变式探究若本例条件不变,试求点P在第四象限时λ的取值范围. 学以致用•随堂检测全达标 答案C 2.已知向量a=(2,4),b=(m,-1),若a与2a+b共线,则实数m的值为()答案C解析由a=(2,4),b=(m,-1),则2a+b=(4+m,7),又因为a与2a+b共线,则2×7=4×(4+m),解得m=-. 3.已知向量a=(1,k),b=(k+1,2),若a与b共线,则实数k=.答案1或-2解析因为a与b共线,k(k+1)-2=0,解得k=1或k=-2. 答案(3,2) 本课结束