第六章6.1.2向量的加法
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律.2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行加法运算.3.理解数的加法与向量的加法的联系与区别.4.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.
基础落实•必备知识全过关
知识点1向量加法的定义及求和法则特别地,对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
2.向量求和的法则
名师点睛1.对向量加法的两种法则的理解(1)当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量共线时,平行四边形法则便不再适用.(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
2.解决向量模的问题的两种方法(1)依据图形特点,适当运用三角形法则或平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系.(2)利用向量形式的不等式“||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|”求解时,一定要注意等号成立的条件.
过关自诊1.(1)物理学中,位移的合成与分解遵循什么法则?提示位移的合成与分解,都遵循平行四边形法则.(2)两个不共线向量相加是模相加吗?提示不是.因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加.由其几何意义知,两个向量的加法应满足求和法则.(3)任意两个非零向量相加都可以用向量加法的平行四边形法则吗?提示不一定.当两个向量共线时不能用向量加法的平行四边形法则.
3.已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则|a+b+c|的最大值为.答案9解析∵|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,∴所求最大值为9,当且仅当a,b,c同向时取得最大值.
知识点2向量加法的运算律1.交换律:a+b=b+a.2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c).名师点睛对向量加法的运算律的理解1.向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有一个为零向量时,交换律和结合律依然成立.2.由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
过关自诊下列各式不一定成立的是()A.a+b=b+aB.0+a=aD.|a+b|=|a|+|b|答案D
知识点3多个向量相加已知n个向量,依次把这n个向量首尾相接,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量称为这n个向量的和向量.
名师点睛对多个向量相加的理解(1)多个向量相加是向量加法的三角形法则的推广,是由求两个向量的和推广到求多个向量的和,强调的也是“首尾相连”.(2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时,各向量的和为0.
过关自诊化简下列各式:
重难探究•能力素养全提升
探究点一向量加法运算法则的应用【例1】(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):(2)①如图甲所示,求作向量a+b;②如图乙所示,求作向量a+b+c.
(方法二)平行四边形法则:如图所示,
规律方法1.向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“始点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共始点”,其和向量为共始点的“对角线”向量.
探究点二向量加法运算律的应用【例2】化简下列各式:
规律方法解决向量加法运算问题时的两个关键点(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点字母、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列式子:
探究点三求与向量的模有关的问题【例3】已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是.答案8解析∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a与b同向时取得最大值,∴|a+b|的最大值为8.规律方法模的最值问题的解法运用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行求解.
变式探究本例中a+b模长的最小值是.答案2解析∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2当且仅当a与b反向时取得最小值,∴|a+b|的最小值为2.
学以致用•随堂检测全达标
答案A
答案A
答案4
本课结束
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