第五章5.3.4频率与概率
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.4.通过该内容的学习,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的能力.
基础落实•必备知识全过关
知识点1随机事件的概率名师点睛随机事件发生的概率的求法1.利用随机事件概率的定义,进行大量重复试验,寻找这个事件发生的频率的近似值.2.一般是先求出频率,再根据频率的摆动情况估算出其概率.
过关自诊在天气预报中,有“降水概率预报”,例如,预报“明天降水概率为78%”,这是指()A.明天该地区有78%的地区降水,其他22%的地区不降水B.明天该地区降水的可能性大小为78%C.气象台的专家中,有78%的人认为会降水,另外22%的专家认为不降水D.明天该地区约有78%的时间降水,其他时间不降水答案B解析根据概率的意义“明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性大小为78%.故选B.
知识点2频率与概率之间的关系大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.
名师点睛频率与概率的区别与联系名称区别联系频率本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率概率是[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变,它是频率的科学抽象
过关自诊1.“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖?提示买1000张彩票相当于做1000次试验,结果可能是一次奖也没中,或多次中奖,所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖,这一数据只是一个理论上的可能性的大小.
2.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是.答案0.03解析这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为=0.03,此频率值为概率的近似值.
重难探究•能力素养全提升
探究点一概率概念的理解【例1】下列说法正确的是()A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一男一女B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
答案D解析一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
规律方法对概率的深入理解1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值.2.由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
变式训练1某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明()A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%答案D解析合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格的概率.
探究点二概率与频率的关系及求法【例2】下面是某批乒乓球质量检查结果表:抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率;(2)结合表中数据估计该批乒乓球优等品的概率.
解(1)抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95.
规律方法频率与概率的认识1.理论依据:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.3.得出概率:从频率估计出概率.
变式探究1例2中若抽取乒乓球的数量为1700只,则优等品的数量大约为多少?解由优等品的概率的估计值为0.95,可知抽取1700只乒乓球时,优等品数量大约为1700×0.95=1615.变式探究2例2中若检验得到优等品数量为1700只,则抽取数量大约为多少?解由优等品概率的估计值为0.95,可知抽取数量大约为1700÷0.95≈1789.
探究三频率与概率的综合问题【例3】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5,所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.规律方法统计知识中频率与概率的组合是近几年高考的热点,频率分布直方图、茎叶图等知识与概率知识结合在一起,成为命题的一种趋势,可用频率知识计算各小组频数.用古典概型的知识计算概率.
变式训练2对某校高一学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)25n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1
(1)求出表中M,p及图中a的值;(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数;(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20的学生中任选2人,请列举出所有基本事件,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.
(3)由(1)知,所取样本中,参加社区服务的次数不少于20的学生共有3+2=5(人),设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,在区间[25,30]内的人为b1,b2.则任选2人,所有的基本事件为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种情况,而两人都在[20,25)内共有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共3种情况,至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为
学以致用•随堂检测全达标
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是()A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次C.抛掷硬币1000次,事件A发生的频率一定等于0.5D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小答案D解析不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故ABC错误;随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小.故选D.
2.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4答案C解析100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为=0.4,因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.
3.某社区为了解居民的受教育程度,随机抽取了1000名居民进行调查,其结果如下:受教育程度研究生本科及以下人数100900现从该社区中随机抽取一人,根据表中数据,估计此人具有研究生学历的概率为.
4.在一次试验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有不规则形状细胞,被注射这种血清之后,有圆形细胞的豚鼠都没有被感染,50只有椭圆形细胞的豚鼠被感染,有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果,分别估计有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率.解记“有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知,A为不可能事件,所以P(A)=0.记“有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,由题意知.记“有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,由题意知事件C为必然事件,所以P(C)=1.
本课结束
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