第五章5.3.1样本空间与事件
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.3.明确随机事件发生的概率,并能直观判断两个事件概率的大小.
基础落实•必备知识全过关
知识点1现象的相关概念1.随机现象(或偶然现象):一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象.2.必然现象(或确定性现象):一定条件下,发生的结果事先能够确定的现象.过关自诊随机现象有什么特点?提示在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种结果出现,但随机现象不是一种杂乱无章的现象,是有一定规律可循的.
知识点2样本点和样本空间1.随机试验(试验):在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).2.样本点:随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点.3.样本空间:由所有样本点组成的集合称为样本空间.
名师点睛1.随机试验的三个特点(1)可重复性:试验在相同条件下可重复进行;(2)可知性:每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验所有可能的结果;(3)不确定性:进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,但必然会出现结果中的一个.2.随机现象与随机试验的区别与联系区别:随机现象与随机试验是两个不同的概念,随机现象属于现象,而随机试验是对随机现象进行的观察或实验.联系:随机试验中包括观察随机现象的实验,两者的特征是相同的:(1)可以重复进行;(2)结果明确,且不止一种;(3)事先无法预料结果.
过关自诊抛掷两枚骰子,点数之和为8所含的样本点有个.答案5解析所含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).
知识点3随机事件1.不可能事件、必然事件、随机事件随机事件如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.若试验的结果是A中的元素,则称A发生(或出现等);否则,称A不发生(或不出现等).必然事件每次试验中Ω一定发生,从而称Ω为必然事件.不可能事件空集⌀不包含任何样本点,因此可以认为每次试验中⌀一定不发生,从而称⌀为不可能事件.
2.事件:一般地,不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.名师点睛对基本事件的理解1.基本事件具有如下性质:①不能再分解的最简单的随机事件;②不同的基本事件不可能同时发生.2.事件与基本事件的区别:基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件,而事件可以由若干个基本事件组成.
过关自诊从集合的角度,你是如何理解随机事件的?举例说明.提示我们可以把随机事件理解为样本空间的子集.如掷一枚骰子观察掷出点数的试验中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.若设A={2,4,6},则A⊆Ω,A是Ω的一个子集,事件A表示“掷出偶数点”这一结果.若设B={5,6},则B⊆Ω,B也是Ω的一个子集,事件B表示“掷出点数大于4”这一结果.
2.下列事件中,是随机事件的为()①射击运动员某次比赛第一枪击中9环;②投掷2颗质地均匀的骰子,点数之和为14;③13个人中至少有2个人的生日在同一个月;④抛掷一枚质地均匀的硬币,字朝上.A.①③B.③④C.①④D.②③答案C解析根据题意,①④为随机事件,②为不可能事件,③为必然事件.所以是随机事件的为①④.
知识点4随机事件发生的概率事件A发生的概率通常用P(A)表示.我们将不可能事件⌀发生的概率规定为0,将必然事件Ω发生的概率规定为1,即P(⌀)=0,P(Ω)=1.对于任意事件A来说,显然应该有P(⌀)≤P(A)≤P(Ω),即0≤P(A)≤1.名师点睛事件发生的可能性越大,它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,它的概率越接近0,如图所示.
过关自诊下列说法正确的是()A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为0.6,则比赛5场,甲一定胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈C.小概率事件不可能发生,大概率事件必然要发生D.气象台预报明天降水概率为90%,是指明天降水的可能性是90%答案D
重难探究•能力素养全提升
探究点一样本点与样本空间【例1】(1)一个家庭有两个小孩,则样本空间Ω是()A.{(男,女),(男,男),(女,女)}B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}(2)同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,结果记为(x,y).①写出这个试验的样本空间;②求这个试验的样本点的总数;③“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?“x1”呢?④“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?“x=y”呢?
(1)答案C解析两个小孩有男、女之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的基本事件.故选C.(2)解①Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.②样本点的总数为16.③“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).④“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1).“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
规律方法随机事件的结果是相对于条件而言的,要确定样本空间,(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
变式探究1将例1(2)中条件不变,改为求“x+y是偶数”这一事件包含哪些样本点?解“x+y是偶数”包括两种情况,①x,y都是奇数;②x,y都是偶数,故“x+y是偶数”这一事件包含以下8个样本点:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).变式探究2在例1(2)的条件下,“xy是偶数”这一事件是必然事件吗?解当x,y均是奇数时,xy是奇数;当x,y中至少有一个是偶数时,xy是偶数,故“xy是偶数”这一事件是随机事件,而不是必然事件.
探究点二事件类型的判断【例2】判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.(1)“在地球上抛一石块,下落”;(2)“在标准大气压下,温度低于0℃时,冰融化”;(3)“某人射击一次,中靶”;(4)“如果a>b,那么a-b>0”;(5)“掷一枚硬币,出现正面”;(6)x∈R,则|x|的值不小于0;(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;(9)“没有水分,种子能发芽”.
解事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.规律方法事件类型的判断方法要判定某事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生,是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
变式训练1下列事件中,随机事件为()A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)cB.没有水和空气,人也可以一直生存下去C.抛掷一枚硬币,反面向上D.在标准大气压下,温度达到60℃时水沸腾答案C
探究点三随机事件的概率【例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.(1)写出该试验的样本空间;(2)用集合表示事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球;事件B:至少摸出1个黑球;(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小.
解(1)用树形图表示所有的结果为:所以该试验的样本空间为Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}.(2)A={ac,ad,ae,bc,bd,be};B={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be}.(3)因为A事件发生时,B事件一定发生,也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小,因此直观上可知P(A)≤P(B).
规律方法概率意义的理解概率是事件固有的属性,可以通过大量重复的试验得到其近似值.但在一次试验中事件发生与否都是有可能的.
变式探究将该例中的第(2)小题改为用集合表示事件C:一定抽到c小球,则集合C怎么表示呢?并从直观上判断P(A)和P(C)的大小.解C={ac,bc,cd,ce},所以从直观上看,P(A)>P(C).
学以致用•随堂检测全达标
1.下列现象是必然现象的是()A.某路口单位时间内通过的车辆数B.n边形的内角和为(n-2)·180°C.某同学在期末考试中数学成绩高于60分D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数答案B
2.先后抛掷2枚质地均匀的面值分别为五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列试验包含3个样本点的是()A.“至少一枚硬币正面向上”B.“只有一枚硬币正面向上”C.“两枚硬币都是正面向上”D.“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”答案A解析“至少一枚硬币正面向上”包括“五角正面向上,一元正面向上”,“五角正面向上,一元正面向下”,“五角正面向下,一元正面向上”,共3个样本点.
3.从长度为2,4,5,7,9的五条线段中任取三条(抽取不分先后),设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”,则事件A包含的样本点个数为.答案4解析从长度为2,4,5,7,9的五条线段中任取三条,则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是(2,4,5),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9),所以事件A包含的样本点个数为4.
4.将2个1和1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω=.答案{110,101,011}解析将2个1和1个0随机排成一排,这个试验的样本空间Ω={110,101,011}.
本课结束
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