第五章5.1.3数据的直观表示
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.会形象化地表示有关数据的柱形图、折线图及扇形图,并会简单应用.2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,并会灵活应用.3.能够利用相应的图形解决实际问题来培养逻辑推理及直观想象能力.
基础落实•必备知识全过关
知识点1柱形图、折线图与扇形图类别柱形图(条形图)折线图扇形图特点一般地,柱形图中,一条轴上显示的是所关注的数据类型,另一条轴上对应的是数量、个数或者比例,柱形图中每一矩形都是等宽的用一个单位长度表示一定的数量,用折线的起伏表示数量的增减变化用整个圆表示总体,扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分表示的数据大小成正比作用及选用情形能清楚地表示每个项目的具体数量,便于相互比较大小能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据,当然,也可以用在其他合适的情形中可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况
过关自诊某市某中学开展了爱党宣传教育活动.为了了解这次宣传活动的效果,学校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试,并将测试成绩分为A,B,C,D,E五个等级,绘制成了两幅不完整的统计图.所抽取的学生测试等级人数的条形图所抽取的学生测试等级人数的扇形图
(1)求本次被调查的学生人数,并补全条形图.(2)求扇形统计图中“B”所对应的扇形圆心角的度数.(3)如果测试成绩为A,B等级的均为优秀,请估计全校学生中成绩为优秀的人数.
解(1)本次被调查的学生人数是39÷26%=150(人).D等级的人数有150-24-51-39-6=30(人),补全条形图如下.所抽取的学生测试等级人数的条形图
知识点2茎叶图、频数分布直方图与频率分布直方图1.茎叶图:一般地,对于两位数茎叶图,中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数.2.作频数和频率分布直方图的步骤(1)找出最值,计算极差.(2)合理分组,确定区间.(3)整理数据.逐个检查原始数据,统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数),并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率).
(4)作出有关图示.根据整理后的数据,可以作出频数分布直方图与频率分布直方图.频数分布直方图的纵坐标是频数,每一组数对应的矩形高度与频数成正比;频率分布直方图的纵坐标是,每一组数对应的矩形高度与频率成正比,而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率,从而可知频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为1.
名师点睛1.茎叶图的理解应用(1)对于样本数据较少,但较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶;若样本数据是小数,则将整数部分作茎,小数部分作叶.(2)关键是找到两组数据共有的茎.2.频数分布直方图与频率分布直方图的区别
过关自诊1.茎叶图的优点是什么?2.如何作出频率分布折线图?提示从茎叶图中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征,还可以看出一组数的分布情况,从而可能得到一些额外信息.提示连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,为了方便看图,折线图画成与横轴相交,所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.
3.青年歌手大奖赛共有10名选手参赛,并请了7名评委.如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为、.答案84.2分85分解析去掉一个最高分和一个最低分后,甲:78,84,85,86,88,平均分为84.2分.乙:84,84,84,86,87,平均分为85分.
重难探究•能力素养全提升
探究点一柱形图的理解与应用【例1】为考察A,B两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到等高条形图如图所示,根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是()A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A,B对该疾病均没有预防效果C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
答案D解析由题图知,服用药物A后患病的比例明显少于服用药物B后患病的比例,服用药物A后未患病的比例明显大于服用药物B后未患病的比例.故选D.规律方法画柱形图的步骤和注意问题(1)步骤:第一步:确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义;第二步:确定横轴上各部分的间距及位置;第三步:根据统计结果绘制柱形图.(2)注意问题:在柱形图中,各个矩形图的宽度没有严格要求,但高度必须以数据为准,它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小.
变式训练1为了解户籍、性别对生育二孩选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人;男性60人,女性40人,绘制不同群体中倾向选择生育二孩与倾向选择不生育二孩的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二孩的对应比例,则下列叙述中错误的是()A.是否倾向选择生育二孩与户籍有关B.是否倾向选择生育二孩与性别无关C.倾向选择生育二孩的人员中,男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二孩的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
答案C解析由题图,可得是否倾向选择生育二孩与户籍有关、与性别无关,倾向选择不生育二孩的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,倾向选择生育二孩的人员中,男性人数为60×60%=36,女性人数为40×60%=24,不相同.
探究点二折线图的理解与应用【例2】如图是某年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比前一年同期变化幅度的数据统计图,给出下列4个结论.①深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高;②深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降;③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京,深圳,广州;④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津,西安,上海.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4
答案C解析变化幅度看折线图,越接近零轴者变化幅度越小,位于零轴下方者表明价格下跌;平均价格看条形图,条形图越高平均价格越高,所以结论①②③都正确,结论④错误.故选C.规律方法绘制折线图的步骤和注意问题(1)步骤:先整理和观察数据统计表,建立直角坐标系,用两坐标轴上的点分别表示数据,再描出数据的相应点,顺次连接相邻的点,得到一条折线.(2)注意问题:画折线统计图时,横轴、纵轴表示的实际含义要标明确.
变式训练2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的折线图如图所示,则下列说法错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化与4至5月份的收入的变化相同D.前6个月的平均收入为40万元答案D
探究点三扇形图的理解与应用【例3】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.400,40B.200,10C.400,80D.200,20
答案A解析用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查,样本容量为(3500+4500+2000)×4%=400,抽取的高中生近视人数为2000×4%×50%=40.故选A.规律方法画扇形图的步骤和注意问题(1)步骤:第一步:计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数;第二步:在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注.(2)注意问题:扇形图表示总体的各部分之间的百分比关系,但不同总量下的扇形统计图,其不同的百分比不可以作为比较的依据.
变式训练3改革开放以来,某市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升,消费结构逐步优化升级,生活品质显著提高,美好生活蓝图正在快速构建.该市城镇居民人均消费支出从2000年的7500元增长到2021年的40000元.2000年与2021年该市城镇居民消费结构对比如下图所示.2000年该市城镇居民消费结构2021年该市城镇居民消费结构
则下列叙述中不正确的是()A.2021年该市城镇居民食品支出占比同2000年相比大幅度降低B.2021年该市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同2000年相比有所减少C.2021年该市城镇居民医疗保健支出占比同2000年相比提高约60%D.2021年该市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元,大约是2000年的14倍
答案B解析由2000年与2021年该市城镇居民消费结构对比图,知在A选项中,2021年该市城镇居民食品支出占比同2000年相比大幅度降低,故A中叙述正确;在B选项中,2021年该市城镇居民人均教育文化娱乐类支出为11%×40000=4400(元),2000年该市城镇居民人均教育文化娱乐类支出为14%×7500=1050(元),故2021年该市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同2000年相比明显增加,故B中叙述错误;
探究点四茎叶图及其应用【例4】某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下:甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107;乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
解甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98分;甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是88分,但分数分布相对于乙来说,趋向于低分段.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.规律方法茎叶图的画法在本例中,画茎叶图时,用中间的数表示数据的十位和百位数,两边的数分别表示两组数据的个位数.要先确定中间的数取数据的哪几位,填写数据时边读边填.比较数据时从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较.
变式训练4在如图所示的茎叶图中,若甲组数据的众数为11,乙组数据的中位数为9,则x+y=()A.6B.5C.4D.3答案D解析由甲组数据的众数为11,得到x=1,乙组数据中间的两个数分别为6和10+y,解得y=2,所以x+y=3.
探究点五频率分布直方图的应用【例5】为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则抽取学生的达标率是多少?
规律方法频率分布直方图的性质
变式训练5如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.(1)求样本在[15,18)内的频率;(2)求样本容量;(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.
解由样本频率分布直方图可知组距为3.(3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06,所以样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47,又在[15,18)内频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022四川资阳高二期末(理))工业生产者出厂价格指数(简称PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度,是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标,也是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据.根据下面提供的我国2020年1月~2021年11月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断,以下结论正确的是()
2020年1月~2021年11月工业生产者出厂价格指数同比、环比涨跌情况A.2020年各月的PPI在逐月增大B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C.2021年1月~11月各月的PPI在逐月减小D.2021年1月~11月各月的PPI均高于2020年同期水平
答案D解析2020年前5个月PPI在逐月减小,A错误;2020年各月同比为负值,即低于2019年同期水平,B错误;2021年1月~11月各月的PPI月度环比为正值,即逐月增大,C错误;2021年1月~11月各月的PPI月度同比为正值,即高于2020年同期水平,D正确.故选D.
2.某公司2021年在各个项目中总投资500万元,如图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占,那么不少于3万元的项目投资共有()A.56万元B.65万元C.91万元D.147万元
答案B解析由图可知,1万元以上的项目投资占比为1-0.46-0.33=0.21,投资金额为500×0.21=105(万元),
3.如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x=,y=.答案58解析由于甲组数据的中位数为15=10+x,所以x=5.因为乙组数据的平均数
4.以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图①、图②解答下列问题:
(1)来自该店财务部的数据报告表明,该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元,请将图①中的统计图补充完整;(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元?(3)小刚观察图②后,认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了,你同意他的看法吗?请说明理由.
解(1)290-(85+80+65)=60(万元),补图如图.(2)85×23%=19.55(万元),所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.(3)不同意.理由如下:3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元),4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元),而10.8
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