人教B版数学高中必修第二册课件4.4 幂函数

第四章4.4幂函数 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标阐释1.通过实例,了解幂函数的概念.3.能运用幂函数的图象与性质解决相关问题.4.会用信息技术作幂函数的图象. 基础落实•必备知识全过关 知识点1幂函数的定义一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.名师点睛1.幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如y=x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是幂函数.2.注意事项(1)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.(2)幂函数的定义域就是使幂函数有意义的x的取值范围.(3)0的0次幂没有意义. 过关自诊下列函数,是幂函数的为.(填序号)①y=3x2;②y=x2+1;答案④⑤ 知识点2函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象与性质填写下表:幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象 幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在区间(0,+∞)上是增函数,在区间(-∞,0)上是减函数增函数增函数在区间(0,+∞),(-∞,0)上均是减函数定点(1,1) 名师点睛1.除函数y=外,其余四个函数都具有奇偶性.2.在第一象限内,函数y=x-1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近. 过关自诊 2.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当实数m为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数.解(1)因为函数是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.(2)当m=2时,f(x)=x-13,函数在(0,+∞)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x2,函数在(0,+∞)上是增函数,综上,m=-1满足条件. 知识点3幂函数共有的性质1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1).2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.3.如果α0时,幂函数在第一象限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.A.1个B.2个C.3个D.4个 答案B解析对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正确;幂函数y=的图象只在第一象限内,故②不正确;当x>0时,xα>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故③不正确;当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确;幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1),(0,0),(1,1),共3个,故⑤不正确.故正确的说法有2个. 重难探究•能力素养全提升 探究点一幂函数的概念 答案(1)B(2)①③∴α=-2.∴y=x-2.(2)①③的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此①③是幂函数;②中x2的系数为2,因此不是幂函数;④是由两个幂函数相加而成的函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数中xα前的系数为1的条件,因此不是幂函数. 规律方法幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断. 答案②③ 探究点二比较大小【例2】比较下列各组数的大小:(2)(-1.2)3,(-1.25)3.(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.(4)0.53,30.5,log30.5. (2)∵y=x3在R上是增函数,-1.2>-1.25,∴(-1.2)3>(-1.25)3.(3)∵y=x-1在区间(0,+∞)上是减函数,5.255.26-1.∵y=5.26x在R上是增函数,-1>-2.∴5.26-1>5.26-2.综上,5.25-1>5.26-1>5.26-2.(4)∵0