人教B版数学高中必修第三册课件第八章 本章总结

第八章本章总结 内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 专题一向量的数量积及应用【例1】已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线.(1)若a与b的夹角为60°,求(2a-b)·(a+b);(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a||b|cos-|b|2=2×1+1×4×cos60°-42=-12.(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,即k2a2-b2=0,∵a2=1,b2=16,∴k2-16=0,故k=±4. 规律方法求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去. 变式训练1 【例2】已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,求k的取值范围.解∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=+(k2+1)e1·e2=2k>0,∴k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围为{k|k>0,且k≠1}. 【例3】已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.(1)若b⊥c,求k的值;(2)求a与b夹角的余弦值. 规律方法1.求向量夹角的方法: 变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则为. 专题二三角恒等变换中的“四变”策略1.变角——角的变换【例4】已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=2,则sin4α的值为. 规律方法若“条件角”与所求的“目标角”不同,则可以用“条件角”表示出“目标角”,然后根据它们之间的关系,选用相关的三角恒等变换公式求解.当题目中涉及三种不同的角:α+β,α-β,4α时,选择哪一种角为目标最合适?通过观察可以发现(α+β)+(α-β)=2α,4α=2×2α,这样,2α是必然的选择,然后,恰当地选择三角公式进行恒等变形,目的就容易达到了. 2.变名——函数名称变换答案4 规律方法对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式,通过变换尽量减少三角函数的种类,从而提高解题效率.注意到函数表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的二次齐次式,所以,分子与分母同时除以cos2x,便可将原函数转化为关于tanx的函数进行求解. 3.变幂——升幂与降幂变换 规律方法由于已知条件中给出了sinα的值,而所求三角函数式中所涉及的角都是与α有关的角,因此可利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等求解. 4.变数——常数变换 规律方法根据需要,常常将“1”进行转化,如1=sin2x+cos2x=(sinx±cosx)2∓2sinxcosx等. 专题三三角恒等变换与三角函数的图象与性质的综合【例8】已知a=(,-1),b=(sinx,cosx),x∈R,f(x)=a·b,求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间. 规律方法辅助角公式及其运用 变式训练3 规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k[或y=Acos(ωx+φ)+k]的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质. 变式训练4已知m=(2cosx+2sinx,1),n=(cosx,-y),且m⊥n.将y表示为x的函数,若记此函数为f(x),(1)求f(x)的单调递增区间;(2)将f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在x∈[0,π]上的最大值与最小值. 本课结束