第八章第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
基础落实•必备知识全过关
知识点1积化和差公式cosαcosβ=;sinαsinβ=;sinαcosβ=;cosαsinβ=.
名师点睛在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用.在运用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.根据实际问题选用公式时,应考虑以下几个方面:(1)运用公式之后,能否出现特殊角.(2)运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或者消项.(3)运用公式之后,能否使三角函数的结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
过关自诊计算:(1)sin52.5°·cos7.5°=;(2)sinαsin3α=.(3)(2022湖南高一课时练习)利用积化和差公式,求下列各式的值:①cos15°cos75°;②sin20°sin40°sin80°.
知识点2和差化积公式cosx+cosy=;cosx-cosy=;sinx+siny=;sinx-siny=.
名师点睛利用和差化积及积化和差公式进行转化求值时,要注意:(1)积化和差时,可以是同名函数的乘积,也可以是异名函数的乘积,而和差化积时,必须是同名函数的和差.(2)和差化积时,两函数值的系数是绝对值相同,注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧.对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数
过关自诊(2022湖南高一课时练习)利用和差化积公式,求下列各式的值:(1)sin15°+sin105°;(2)sin20°+sin40°-sin80°.
重难探究•能力素养全提升
探究点一三角函数式的化简与求值分析利用积化和差与和差化积公式化简、求值.
规律方法三角函数化简与求值的策略当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
变式探究若把本例改为:sin20°cos70°+sin10°sin50°,试求值.
探究点二证明恒等式【例2】求证:sinαsin(60°+α)sin(60°-α)=sin3α.分析根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.
规律方法三角恒等式证明的思路当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
变式训练1已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,求证:(2cos2A+1)2=a2+b2.证明由题意知(sinA+sin5A)+sin3A=2sin3Acos2A+sin3A=a,(cosA+cos5A)+cos3A=2cos3Acos2A+cos3A=b,则sin3A(2cos2A+1)=a,①cos3A(2cos2A+1)=b.②两式平方相加,得(2cos2A+1)2=a2+b2.
探究点三与三角函数有关的综合问题分析先将解析式化简,然后求解.
规律方法三角函数综合问题的求解策略求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.
变式训练2
素养培优积化和差、和差化积公式的应用规律(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和差角.(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名函数之积;等式左边为单角θ与φ,等式右边为的形式.
规律方法本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.
学以致用•随堂检测全达标
答案B
2.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为()答案B
3.计算:(1)sin15°sin30°sin75°;(2)sin105°+sin15°;(3)cos75°cos15°.
4.(2022湖南高一课时练习)用和角与差角公式证明:
本课结束
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