人教B版数学高中必修第三册课件8.1.2 向量数量积的运算律

第八章8.1.2向量数量积的运算律 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别.2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点向量数量积的运算律已知向量a,b,c与实数λ,则交换律a·b=结合律(λa)·b==分配律(a+b)·c=a·c+b·cb·aλ(a·b)a·(λb) 名师点睛(1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b. (2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·ca=c,因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)(a·b)·c=a·(b·c).()(2)若a⊥b,则a·b=0.()(3)若a∥b,则a·b>0.()(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).()2.已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.×××√ 重难探究•能力素养全提升 探究点一向量数量积的计算【例1】已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2. 规律方法求向量的数量积时,常用到的结论(1)a2=|a|2;(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件. 变式探究对本例变形:已知e1,e2是两个单位向量,且(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-,求. 变式训练1答案(1)A(2)D 探究点二向量的夹角和垂直问题【例2】(1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()BCB 变式探究若将本例(1)条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.解设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ,故有cosθ=-. 分析利用向量垂直的充要条件求参数.答案B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4. 规律方法1.求向量夹角问题的两种思路(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式求值定角.(2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式求值定角.2.两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向.(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b