第七章7.4数学建模活动:周期现象的描述
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.能将实际问题抽象为三角函数模型.
基础落实•必备知识全过关
知识点数学建模数学建模是数学学习的一种新的方式,是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.(它是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果,是用精确的语言表达对象的内在特性,是利用各种数学概念、关系、表达式建立的模型.)
按广义理解,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为我们提供了自主学习的空间,把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力.
一般说来,数学建模过程可用如图的框图表示:
建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.中学数学中的应用问题不全属于中学数学建模活动,只有符合以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴,其他的只属于数学求解的应用问题.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√
答案(1)2.5(2)3π,π
重难探究•能力素养全提升
探究点一三角函数模型在物理学中的应用【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为s=4sin(2t+),t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?分析确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.
解列表如下:描点、连线,图象如图所示.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和-4cm.(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
变式训练交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用(1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
探究点二三角函数模型的实际应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.(1)根据以上数据,求其周期、振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度不小于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动.分析(1)根据y的最大值和最小值求A,b,确定周期后求ω.(2)解不等式y≥1,确定有多少时间可供冲浪者活动.t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
3≤t≤12k+3(k∈Z).又0≤t≤24,所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24,故在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9≤t≤15.
变式探究若将本例中“不小于1米”改为“不小于1.25米”,结果又如何?即12k-2≤t≤12k+2(k∈Z).又0≤t≤24,所以0≤t≤2或10≤t≤14或22≤t≤24,所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,即10≤t≤14.
规律方法解三角函数应用问题的基本步骤
学以致用•随堂检测全达标
1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=3sin100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是()答案A
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin(2t+),s2=10cos2t确定,则当t=s时,s1与s2的大小关系是()A.s1>s2B.s10,ω>0,|φ|
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