人教B版数学高中必修第三册课件7.3.3 余弦函数的性质与图象

第七章7.3.3余弦函数的性质与图象 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值.2.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y=cosx和y=Acos(ωx+φ)的图象,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点1余弦函数的性质与图象1.余弦函数:对于,的余弦cosx与之对应,所以y=cosx是一个函数,一般称为.2.余弦函数的性质与图象任意一个角x都有唯一确定余弦函数R[-1,1]2π偶 [-π+2kπ,2kπ]3.余弦曲线:函数称为余弦曲线.[2kπ,2kπ+π]x=kπ(k∈Z)(+kπ,0)(k∈Z)y=cosx的图象 过关自诊1.(2022北京北师大实验中学高一期中)下列函数中为奇函数的是()A.f(x)=|sinx|+cosxB.f(x)=|cosx|+sinxC.f(x)=|sinx|·cosxD.f(x)=|cosx|·sinx答案D解析对于A,由f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=f(x),f(x)=|sinx|+cosx不是奇函数;对于B,由f(-x)=|cos(-x)|+sin(-x)=|cosx|-sinx≠-f(x),f(x)=|cosx|+sinx不是奇函数;对于C,由f(-x)=|sin(-x)|·cos(-x)=|sinx|·cosx=f(x),f(x)=|sinx|·cosx不是奇函数;对于D,是奇函数.故选D. 2.(多选题)对于余弦函数y=cosx的图象,有以下描述,其中正确的有()A.余弦函数y=cosx的图象关于原点对称B.与y=sinx的图象形状完全一样,只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称答案BCD 3.求函数y=2cosx-1的最大值、周期、单调递增区间.解当cosx=1,即x=2kπ,k∈Z时,y=2cosx-1有最大值1,由2cos(x+2π)-1=2cosx-1,所以y=2cosx-1的周期为2π,令-π+2kπ≤x≤2kπ,k∈Z,得y=2cosx-1的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z. 知识点2余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质[-A,A]-AAkπ 过关自诊 答案A 重难探究•能力素养全提升 探究点一余弦函数的单调性A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a分析(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.(2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较. 答案(1)B(2)A 规律方法1.余弦型函数单调区间的求法(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.2.关于三角函数值比较大小利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小. 变式训练1 探究点二余弦函数的奇偶性、对称性(2)函数y=3cos2x+4(x∈R)是()A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数 规律方法关于余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的对称问题 变式训练2 探究点三与余弦函数有关的值域问题【例3】求下列函数的值域.(1)y=-2cosx-1; 解(1)因为-1≤cosx≤1,所以-2≤-2cosx≤2.所以-3≤-2cosx-1≤1.所以y=-2cosx-1的值域为[-3,1]. 规律方法求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法(1)sinx,cosx的有界性,即|sinx|≤1,|cosx|≤1;(2)sinx,cosx的单调性,通常结合函数图象来解决;(3)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性. 变式训练3求下列函数的值域.(1)y=sin2x+2cosx-2; 解(1)y=sin2x+2cosx-2=-cos2x+2cosx-1=-(cosx-1)2.∵-1≤cosx≤1,∴-4≤-(cosx-1)2≤0,∴函数y=sin2x+2cosx-2的值域为[-4,0]. 素养培优应用数形结合法解三角不等式审题视角先用数形结合法解不等式cosu≤,再利用整体代换法求出x的取值范围. 规律方法结合函数图象解不等式,可使抽象问题直观化. 变式训练 学以致用•随堂检测全达标 答案A 2.函数f(x)=cos(sinx)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案B解析函数的定义域为R,f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x),所以函数f(x)=cos(sinx)是偶函数. 3.(多选题)已知函数f(x)=cosx,下列结论不正确的是()A.函数y=f(x)的周期为2πB.函数y=f(x)在区间(-π,0)内单调递减C.函数y=f(x)的图象关于x=π轴对称D.把函数y=f(x)的图象向左平移个单位可得到y=sinx的图象答案BD 本课结束