第十一章11.1.5旋转体
课标要求1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.理解柱体、锥体、台体之间的关系.3.知道这四种几何体的结构特征,能识别和区分这些几何体.4.理解圆柱、圆锥、圆台的表面积与侧面积公式,球的表面积公式.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1圆柱、圆锥、圆台1.圆柱、圆锥、圆台可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.圆柱圆锥圆台
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是,其中,旋转轴称为旋转体的,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的.而且,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都称为.在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常简称为.由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.显然,圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.旋转体侧面的面积称为旋转体的,侧面积与底面积之和称为旋转体的(或).旋转体轴高底面侧面母线轴截面侧面积表面积全面积
2.圆柱、圆锥、圆台的相关特征几何体圆柱圆锥圆台图形
几何体圆柱圆锥圆台结构特征底面________________________________圆面两底面是平行且半径不相等的圆面母线相交于顶点平行于底面的截面与两底面平行且半径相等的圆面平行于底面且半径不相等的圆面与两底面平行且半径不相等的圆面轴截面等腰梯形两底面平行且半径相等的圆面平行且相等延长线交于一点矩形等腰三角形
3.几种几何体的表面积公式旋转体图形表面积公式圆柱底面积:S底=侧面积:S侧=表面积:S=圆锥底面积:S底=侧面积:S侧=表面积:S=πr22πrl2πrl+2πr2πr2πrlπrl+πr2
旋转体图形表面积公式圆台上底面面积:S上底=πr'2下底面面积:S下底=πr2侧面积:S侧=πl(r+r')表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.()(2)用平面去截圆锥,一定得到一个圆锥和一个圆台.()√×
提示将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后在平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示.2.将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来.
3.圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于()A.72B.42πC.67πD.72π答案C解析S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.
4.如图所示,已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=.答案3解析在Rt△OSA中,OA=4,
5.若圆柱OO'的底面半径r=2cm,母线长l=3cm,则圆柱OO'的表面积等于cm2.答案20π解析S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).
知识点2球1.球的相关概念可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面;球面围成的几何体,称为.球也是一个旋转体.形成球面的半圆的圆心称为球的,连接球面上一点和球心的线段称为球的,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的.一个球可以用表示它的球心的字母来表示,如球O.由球面的形成过程可看出,球面可以看成.球的截面是.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的,被不经过球心的平面截得的圆称为球的.球面球球心半径直径空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合一个圆面(圆及其内部)大圆小圆
2.球的表面积设球的半径为R,则球的表面积,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.S=4πR2
过关自诊1.球的任意两条直径不具有的性质是()A.相交B.互相平分C.互相垂直D.都经过球心答案C解析球的任意两条直径相交、互相平分、都经过球心,不一定互相垂直.故选C.
2.有下列说法:①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段;②球的直径是连接球面上任意两点的线段;③用一个平面截一个球,得到的是一个圆.其中说法正确的序号是.答案①解析利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.
重难探究•能力素养全提升
探究点一旋转体的结构特征【例1】判断下列各说法是否正确.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形.解①错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.②正确.
变式训练1(1)给出下列说法:①圆柱的底面是圆面;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是.(填序号)(2)将直角梯形绕其一边所在的直线旋转一周,所得的几何体可能是()A.棱锥B.棱台C.球D.圆台
答案(1)①②(2)D解析(1)①正确;②正确;③不正确,圆台的母线延长相交于一点;④不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.(2)由旋转体的定义,将直角梯形绕其垂直底边的边所在的直线旋转一周,形成的几何体是圆台.故选D.
探究点二旋转体中的基本计算【例2】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3.(1)求圆台O'O的母线长;(2)若圆台上底面的半径为1,求该圆台的表面积.
解(1)设圆台的母线长为l,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3.即圆台的母线长为9.(2)若圆台上底面的半径为1,则下底面的半径为4,故它的表面积为S=π(12+42+1×9+4×9)=62π.
变式训练2一个圆台的母线长为12cm,两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为hcm,由条件可得圆台上底半径r'=2cm,下底半径r=5cm.由勾股定理得
探究点三旋转体的侧面积或表面积(3)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)
答案(1)A(2)A(2)设底面圆的半径为r,母线为l,由已知得S=πr2,又l=2πr,∴侧面积S'=2πrl=4π2r2=4πS.故选A.
(3)解如图,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角为180°,所以c=π·SA.又c=2π×10=20π,所以SA=20cm.同理SB=40cm,所以AB=SB-SA=20(cm).S表面积=S侧+S上底+S下底=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2=π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).所以圆台的表面积是1100πcm2.
变式训练3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于()A.15B.15πC.24πD.30π(2)圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为()A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2)(3)圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为()A.81πB.100πC.14πD.169π
答案(1)B(2)C(3)B解析(1)S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B.(2)圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故选C.
(3)圆台的轴截面如图,设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有102=(4r)2+(4r-r)2,解得r=2.所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B.
探究点四旋转体的截面与侧面展开【例4】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1cm,2cm,截得圆台的圆锥的母线长为12cm,求圆台的母线长.解如图是圆台的轴截面,由题意知AO=2cm,A'O'=1cm,SA=12cm.
变式探究本例条件不变,若将此圆台沿一条母线展开,得到一个扇环(如图).(1)求扇环的圆心角;(2)求扇环的面积.
变式训练4圆台的上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.解圆台的轴截面如图所示,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心,过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.由题意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3.所以GE=2.所以圆O3的半径为3,所以这个截面的面积为9π.
探究点五球中的计算问题(2)已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为.
答案(1)D(2)12解析(1)如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,(2)因为AB=10,AC=6,BC=8,所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.所以该小圆半径为r=5.轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122.所以球心O到△ABC所在小圆的距离为12.
规律方法解决有关球的问题时常用到的性质(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直.(2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问题.
变式训练5已知长方体有公共顶点的三个侧面面积分别为,则它的外接球表面积为.答案9π解析设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则由已知,
素养培优旋转体中的最短长度问题【典例】如图,圆台的上、下底面半径分别为5cm和10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.思路分析求几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开,转化为平面几何知识求解.
解(1)如图,将圆台侧面展开,则绳子的最短长度即为侧面展开图中A1M的长度,设∠AOA1=θ,则由已知及弧长公式得θ·OB=2π×5,θ·(OB+20)=2π×10,解得θ=,OB=20cm.所以OA=OA1=40cm,OM=30cm.
(2)如图,过点O作OQ⊥A1M于点Q,交弧BB1于点P,则PQ为所求最短距离.因为OA1·OM=A1M·OQ,即40×30=50·OQ,所以OQ=24cm,所以PQ=OQ-OP=OQ-OB=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.规律方法求解旋转体表面上距离最短问题,要“化曲为直”,这一点与多面体的“化折为平”相似,体现了化归与转化的思想,即将空间问题转化为平面问题来处理.
学以致用•随堂检测全达标
1.以下空间几何体是旋转体的是()A.圆锥B.棱台C.正方体D.三棱锥A
2.(多选题)下列几何体不是台体的是()ABC
3.圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为,表面积为.答案24π32π解析由已知得圆柱的底面半径为2,则其侧面积S侧=2πrl=2×π×2×6=24π,表面积S表=24π+2π×22=32π.
4.如图几何体是由第个平面图形旋转得到的.答案③解析因为题图为一个圆台和一个圆锥的组合体,因此平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成的.由此可知①②④不正确.③正确.
5.如图甲、乙、丙、丁是不是棱锥、圆柱、圆锥、圆台等几何体?解图甲中的六个三角形不是有一个公共顶点,故不是棱锥,只是一个多面体;图乙不是圆柱,因为上、下两底面不平行(或不是由一个矩形旋转而成);图丙不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥;图丁截圆锥的平面与底面不平行,故截面与底面之间的几何体不是圆台.
本课结束
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