第十一章11.1.2构成空间几何体的基本元素
课标要求1.理解平面的抽象特征,并会表示平面.2.理解构成几何体的基本元素,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.3.掌握简单几何体中点、线、面的位置关系.4.逐步掌握立体几何中的三种语言——文字语言、符号语言、图形语言以及这三种语言之间的相互转化.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1空间中的点、线、面长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为“体”),包围着几何体的是“”,面与面相交给人“”的形象,线与线相交给人“”的形象.这就是说,可以将看作构成空间几何体的基本元素.另外,点运动的轨迹可以是,线运动的轨迹可以是,面运动的轨迹可以是.面线点点、线、面线面体
过关自诊平静的湖面、课桌面、黑板面、一望无垠的草原给你什么样的感觉?(1)生活中的平面有大小之分吗?(2)几何中的“平面”是怎样的?提示有.提示从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分.
知识点2空间中点与直线、直线与直线的位置关系1.空间中点与直线的位置关系.
2.空间中直线与直线的位置关系.异面直线
名师点睛不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图所示,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)没有公共点的两条直线是平行直线.()(2)互相垂直的两条直线是相交直线.()(3)既不平行又不相交的两条直线是异面直线.()××√
2.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案D解析若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
3.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案B解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线.
知识点3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.直线在平面内不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面α内,这称为(或),记作.直线l在平面α内平面α过直线ll⊂α
2.直线在平面外直线m上至少有一个点不在平面α内,这称为,记作;图中的m与α有且只有一个公共点(称为),一般简写为.直线m在平面α外m⊄α直线m与平面α相交m∩α=B
3.直线与平面平行一般地,如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则l∩α≠⌀与l∩α=⌀有且只有一种情况成立.而且,当l∩α≠⌀时,要么l⊂α,要么l与α只有一个公共点;当l∩α=⌀时,称,记作l∥α.直线l与平面α平行
4.平面与平面相交如图,平面α与β有公共点,这称为,记作α∩β≠⌀.更进一步可以看出,一个点是α与β的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作α∩β=k.平面α与平面β相交
5.平面与平面平行如果α与β是空间中的两个平面,则α∩β≠⌀与α∩β=⌀有且只有一种情况成立.而且,当α∩β≠⌀时,α与β的公共点组成一条直线;当α∩β=⌀时,称,记作α∥β.平面α与平面β平行
6.直线与平面的位置关系列表比较位置关系公共点符号表示图形表示直线a在平面α内无数个公共点a⊂α直线a与平面α相交1个公共点a∩α=A直线a与平面α平行无公共点a∥α
7.两个平面的位置关系列表比较位置关系图形表示符号表示公共点个数两平面平行α∥β无公共点两平面相交α∩β=l有无数个公共点,这些点在一条直线上
名师点睛1.一般地,直线a在平面α内时,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内,切勿画出边框外;直线a与平面α相交时,应画成直线a与平面α只有一个公共点,被平面α遮住的部分画成虚线或不画;直线a与平面α平行时,应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面α的平行四边形外.2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.()(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.()(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.()××√
2.“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?3.分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?提示不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行.提示这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面.
4.若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定5.空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有条.答案B解析因为M∈α,M∈β,所以α与β相交于过点M的一条直线.1或3
1.直线与平面垂直的定义(1)文字语言:一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内的任意一条过点A的直线m,都有l⊥m,则称__________________(或,),记作l⊥α.其中,点A称为.(2)图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3)符号语言:任意m⊂α,都有l⊥m⇒l⊥α.知识点4直线与平面垂直直线l与平面α垂直l是平面α的一条垂线α是直线l的一个垂面垂足
2.投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的(也称为),线段AB为平面α的,AB的长为.特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这.射影投影垂线段点A到平面α的距离直线到这个平面的距离两平行平面之间的距离
过关自诊1.鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木工时,常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?(2)上述内容说明了直线与平面垂直的条件是什么?(3)若直线垂直于平面内的无数条直线,则直线与平面垂直吗?提示不能.提示直线垂直于平面内的两条相交直线.提示不一定.
2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直答案A解析∵直线l⊥平面α,∴l与α相交.∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
重难探究•能力素养全提升
探究点一文字、图形、符号三种语言的转化【例1】用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β交于直线PA,平面α与平面γ交于直线PB,平面β与平面γ交于直线PC;(2)平面ABD与平面BCD交于直线BD,平面ABC与平面ADC交于直线AC.解(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示:如图①所示.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示:如图②所示.
规律方法学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.
变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为.(2)根据右图,填入相应的符号:A平面ABC,A平面BCD,BD平面ABC,平面ABC∩平面ACD=.(3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B∉MN,C∈β,C∉MN.
答案(1)M∈a,a⊂α,M∈α(2)∈∉⊄AC(3)如图所示.
探究点二空间两条直线位置关系的判定【例2】已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.解直线a与c的位置关系有三种情况.直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
规律方法判定两条直线位置关系的方法判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是.
答案(1)平行(2)异面(2)因为直线A1B⊂平面A1B1BA,B1∈平面A1B1BA,且B1∉直线A1B,直线CB1⊄平面A1B1BA,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.
探究点三直线与平面的位置关系【例3】下列五个命题中是真命题的个数是()①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥b;④如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;⑤如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.A.0B.1C.2D.3
答案B解析如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'却在过BB'的平面ABB'A'内,故①错误;AA'∥平面BB'C'C,BC⊂平面BB'C'C,但AA'不平行于BC,故②错误;AA'∥平面BB'C'C,A'D'∥平面BB'C'C,但AA'与A'D'相交,故③错误;A'B'∥C'D',A'B'∥平面ABCD,C'D'⊄平面ABCD,则C'D'∥平面ABCD,故④正确;AA'显然与平面ABB'A'中的无数条直线平行,但AA'⊂平面ABB'A',故⑤错误.
规律方法空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情况都要考虑到,避免遗漏.正方体(长方体)是立体几何中的重要模型,直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映,故我们可以把要判断位置关系的直线、平面放在正方体(长方体)中,以便作出正确判断.
变式训练3下列命题中的真命题是()A.若点A∈α,点B∉α,则直线AB与平面α相交B.若a⊂α,b⊄α,则a与b必异面C.若点A∉α,点B∉α,则直线AB∥平面αD.若a∥α,b⊂α,则a∥b
答案A解析选项A正确.对于选项B,如图①显然错误.对于选项C,如图②显然错误.对于选项D,如图③显然错误.故选A.
探究点四两个平面的位置关系【例4】α,β是两个不重合的平面,下面说法正确的是()A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β
答案D解析平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,则平面α可能与平面β平行,也可能相交,故A错误;平面α内有无数条直线平行于平面β,则平面α可能与平面β平行,也可能相交,故B错误;若直线a与平面α和平面β都平行,则平面α可能与平面β平行,也可能相交,故C错误;平面α内所有直线都与平面β平行,则平面α与平面β没有公共点,则α∥β,故D正确.故选D.
规律方法判断两平面之间的位置关系时,可以考虑把文字语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于直观想象能力,确定平面间的位置关系.
变式训练4如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定
答案C解析分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行.解答本题可逆向考虑画两个平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示).
探究点五直线和平面垂直的定义【例5】直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α平行B.l和平面α垂直C.l在平面α内D.不能确定答案D解析如图所示,直线l和平面α平行,或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.
规律方法直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
变式训练5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不能作为平面ABCD垂线的是()A.AA1B.BB1C.CC1D.AD1D
素养培优线、面位置关系图形的画法【典例】作出下列各题的图形.(1)画直线a,b,使a∩α=A,b∥α.(2)画平面α,β,γ,使α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n.解
变式训练在图中画出三个两两相交的平面.解如图所示:
学以致用•随堂检测全达标
1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作()A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β答案B解析因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.
2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一平面的位置关系为()A.平行B.相交C.直线在平面内D.平行或直线在平面内答案D解析由题知这条直线可能在另一平面内,也可能与另一平面平行.
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有对.答案6解析如图所示,在长方体中,与对角线AC1成异面直线的是:A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.
4.下列命题:①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.其中假命题的序号为.答案①②解析对于①,两个平面相交,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.
5.简述结论,并画图说明.直线a在平面α内,直线b与直线a相交于点A,则直线b与平面α的位置关系如何?解直线b与平面α的位置关系有两种:b⊂α,或b∩α=A.
本课结束
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