人教B版数学高中必修第四册课件第十一章 本章总结

第十一章本章总结 内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 专题一共点、共线、共面问题【例1】如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.证明(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF∥GH,且EF≠GH.所以EG与FH必相交.设交点为M.而EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上. 专题二空间中的平行关系【例2】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由. 解当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图,连接BD和AC交于点O,连接FO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD,∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC,∴平面AFC∥平面PMD. 专题三空间中的垂直关系【例3】如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求证:BC1⊥AB1. 证明(1)设BC的中点为M,连接B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又AC⊂平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB. (2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1,∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1. 专题四空间角的计算【例4】如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.(1)证明由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又二面角B-AO-C是直二面角,∴CO⊥BO.∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.∵CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB. (2)解作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角. 专题五逻辑推理的核心素养【例5】如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF. 证明因为AB为☉O的直径,C为☉O上一点,所以BC⊥AC.因为DA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以DA⊥BC.又DA∩AC=A,所以BC⊥平面DAC.因为AF⊂平面DAC,则BC⊥AF.又AF⊥DC,DC∩BC=C,所以AF⊥平面BCD.因为BD⊂平面BCD,所以AF⊥BD.又因为AE⊥BD,AE∩AF=A,所以BD⊥平面AEF. 专题六函数与方程思想【例6】如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0