人教B版数学高中必修第一册同步练习2.2.4 均值不等式及其应用

2.2.4 均值不等式及其应用必备知识基础练1.已知01,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有(  )A.a+b有最大值22+2B.a+b有最小值22+2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值22+33.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则x,y的关系是(  )A.x>yB.x2yD.y0,b>0,则下列不等式中正确的是(  )A.ab≤a+b22B.ab≤a2+b22C.1ab≥2a2+b2D.1ab≤2a+b25.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为     ,取得最大值时y的值为     . 7.已知a,b,c为正数,求证:b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.关键能力提升练8.(多选题)下列说法正确的是(  )A.x+1x的最小值为2 B.x2+1的最小值为1C.3x(2-x)的最大值为2D.x2+7x2+2的最小值为27-29.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=(  )A.-3B.2C.3D.810.已知a>b>c,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是          . 11.已知正数x,y满足x+y=2,则1x+xy的最小值是     . 12.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.学科素养创新练13.若a>0,b>0,且(a+b)ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.参考答案1.B ∵02,t>1,t-s=1,由均值不等式得s≥2t,则t-1≥2t,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+22,当且仅当a=b=2+1时,等号成立;s≥2s+1,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+22,当且仅当a=b=2+1时,等号成立.故选BD.3.B x2=a+b+2ab20,∴x0且1=x3+y4≥2xy12,所以xy≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时等号成立.7.证明左边=ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1=ba+ab+ca+ac+cb+bc-3.∵a,b,c为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b时等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c时等号成立);cb+bc≥2(当且仅当b=c时等号成立).从而ba+ab+ca+ac+cb+bc≥6(当且仅当a=b=c时等号成立).∴ba+ab+ca+ac+cb+bc-3≥3,即b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.8.BD 当x0,9x+1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2(x+1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.10.(a-b)(b-c)≤a-c2 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c).当且仅当b=a+c2时等号成立.11.12+2 因为正数x,y满足x+y=2,则1x+xy=x+y2x+xy=12+y2x+xy≥12+2y2x·xy=12+2,当且仅当y2x=xy,即y=2x时,等号成立,由y=2x且x+y=2解得x=22-2,y=4-22,所以当x=22-2,y=4-22时,1x+xy取得最小值12+2.12.解∵(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy,又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2yx·axy=2a,∴1+a+yx+axy≥1+a+2a,∴要使(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2a≥9恒成立即可.∴(a+1)2≥9,即a+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.13.解(1)∵(a+b)ab=1,∴(a+b)=1ab.∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立,∴1ab≥2ab,∴ab≤12.当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为12.(2)不存在.理由如下, ∵a>0,b>0,∴12a+13b≥212a·13b=26ab≥233,当且仅当a=b时,等号成立.∵63