人教B版数学高中必修第四册同步练习9.2 正弦定理与余弦定理的应用

9.2 正弦定理与余弦定理的应用1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A,B两点间的距离为(  )A.100mB.503mC.1002mD.200m2.如图,一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为30m,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为45°,沿直线步行1min后在B点观察塔顶,仰角为30°,若∠ADB=30°,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为(  )A.1m/sB.32m/sC.22m/sD.12m/s3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=3km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为(  )A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度是(  ) A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.30(3+1)mD.120(3-1)m5.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔的高度是(  )A.15B.25C.40D.606.某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76°方向,则此时船到灯塔S的距离约为     海里(sin40°≈0.6428,sin76°≈0.9703,sin36°=0.5878,结果精确到0.1). 7.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B间的距离为106米,则AN=     米,旗杆的高度为     米.  8.如图所示,我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.(1)求sin∠BDC的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?9.如图是一个以AB为直径的半圆形湖,AB=8(单位:百米),现在设计一个以AB为边的四边形ABCD,C,D在半圆上,设∠BOC=θ(O为圆心).(1)在四边形ABCD内种植荷花,且∠COD=π3,当θ为何值时,荷花种植面积最大?(2)沿BC,CD和DA建造观景栈桥,且BC=CD,当θ为何值时,观景栈桥总长L最长?并求出总长L.10.如图,我方炮兵阵地位于A处,两移动观察所分别设在C,D两处.已知△ACD为正三角形.当目标出现在点B时,测得BC=1千米,BD=2千米.(1)若测得∠DBC=π3,求△ABC的面积; (2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标B是否在我方炮火射程范围内?参考答案1.A 在△ABC中,AC=502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以ABsin45°=502sin30°,解得AB=100m.故选A.2.D 依题意,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,则AD=CD=30m.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,则BD=CDtan30°=303(m).在△ADB中,∠ADB=30°,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即AB2=302+(303)2-2×30×303cos30°=900,解得AB=30m.所以此人的步行速度为12m/s.故选D.3.C 如图所示,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,在△BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75°,故BD=2+62m.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°,所以AB=5+23≈2.9(km).故炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.故选C.4.D 由题意可知∠ABC=105°,∠BAC=45°,C=30°,所以AC=60sinC=60sin30°=120m.由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120sin45°sin105°=602sin60°cos45°+cos60°sin45°=120(3-1)(m),即河流的宽度为120(3-1)m.故选D. 5.B 过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,即hsin[90°-α-(90°-β)]=ADsin(90°+α),所以AD=hcosαsin(β-α),在Rt△ADF中,DF=ADsinβ=hcosαsinβsin(β-α),又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-CF=hcosαsinβsin(β-α)-a=40×32×3212-35=60-35=25.故选B.6.54.7 由条件可得∠BSA+∠BAS=76°,所以∠BSA=76°-40°=36°.在△SAB中,由正弦定理,得BSsin∠BAS=ABsin∠BSA,所以BS=ABsin∠BASsin∠BSA=50sin40°sin36°≈54.7(海里).7.203 30 依题意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-60°-15°=105°,所以∠BNA=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知ABsin∠BNA=NAsin∠NBA,所以AN=ABsin∠BNA·sin∠NBA=203(米).所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=203×32=30(米),所以旗杆的高度为30米.8.解(1)由已知可得CD=40×12=20(海里), 在△BDC中,根据余弦定理求得cos∠BDC=212+202-3122×21×20=-17,所以sin∠BDC=437.(2)由已知可得∠BAD=20°+40°=60°,所以sin∠ABD=sin(∠BDC-60°)=437×12--17×32=5314.在△ABD中,由正弦定理可得AD=BD×sin∠ABDsin∠BAD=21×sin∠ABDsin∠BAD=15(海里),所以t=1540×60=22.5(分钟).即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.9.解(1)因为AB=8,所以OA=OB=OC=OD=4,S四边形ABCD=S△BOC+S△COD+S△DOA=12OB·OCsinθ+12OC·ODsinπ3+12OD·OAsin2π3-θ=12×42×sinθ+12×42×sinπ3+12×42×sin2π3-θ=83sinθ+π6+43=432sinθ+π6+1.因为0