人教B版数学高中必修第三册第八章单元测评含答案

第八章测评第Ⅰ卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知b=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影的数量为(  )A.1B.2C.-2D.-12.向量a,b的模长为正整数,且满足(|a|+|b|)·(2|a|+3|b|)=65,(a+b)(2a+3b)=20,则(  )A.a·(a+b)=7B.b·(a+b)=7C.=2π3D.=5π63.已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,1),a·b=-2,则cos=(  )A.12B.-12C.22D.-224.若sinα=35,则cosπ3+αcosπ3-α=(  )A.43100B.11100C.-43100D.-111005.已知α∈0,π2,若sinα=45,则cosα-π6=(  )A.33+410B.43+310C.3-4310D.33-4106.sin75°=(  )A.1+22B.6-24C.6+24D.3+247.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=2,CB=4,AB=6,则EA·EB=(  ) A.0B.1C.-1D.28.在矩形ABCD中,AB=2BC=2,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,则AM·BD的取值范围为(  )A.[-5,-1]B.[-5,1]C.[-3+5,-1]D.[-3+5,3-5]二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是(  )A.已知平面上的任意两个向量a,b,不等式a+b≥a成立B.若A,B,C,D是平面上不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若非零向量a,b满足a+b=a-b,则a,b的夹角为π2D.已知平面向量|a|=6,e是单位向量,e与a的夹角为120°,则向量a在向量e上的投影向量为3e10.设平面向量a,b,c均为非零向量,则下列命题中正确的是(  )A.若a·b=a·c,则b=cB.a,b反向,且|a|>|b|,则a+b与b同向C.|a+b|>|a-b|等价于a·b>0D.若a∥b,b∥c,则a∥c11.下列化简正确的是(  )A.cos2π8-sin2π8=22B.2sin275°-1=12 C.1+tan15°1-tan15°=3D.tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=-312.已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ)(0≤θ≤π),则下列命题正确的是(  )A.若a⊥b,则tanθ=2B.若b在a上的投影的数量为-36|a|,则向量a与b的夹角为2π3C.当θ为锐角时,a与b的夹角也是锐角D.存在θ,使得|a+b|=|a|+|b|第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知sinπ4-α=-55,sin3π4+β=1010,且α∈π4,3π4,β∈0,π4,则α-β的值为     . 14.已知单位向量e满足a-e=a+2e,则向量a在e方向上的投影向量为     . 15.已知向量a=(λ,-3),b=(1,λ).若(a+b)⊥b,则λ=     . 16.若角α的终边经过点P(1,-2),则cosα=     ,tan2α=     . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a,b满足a=(1,-1),|b|=1.(1)若a,b的夹角为π3,求a·b;(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角.18.(12分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求c的模;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值. 19.(12分)设向量a=(22sinα,1),b=12,2cosα,其中α∈π2,π.(1)若a⊥b,求sinα+2cosα2sinα-cosα的值;(2)若|a-2b|=22,求sinα的值.20.(12分)某房地产开发公司为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园,如图所示.已知扇形AOB的圆心角∠AOB=π4,半径为200米.现需要修建的花园为平行四边形OMNH,其中M,H分别在半径OA,OB上,N在AB上.(1)求扇形AOB的弧长和面积;(2)设∠MON=θ,平行四边形OMNH的面积为S.求S关于角θ的函数解析式,并求S的最大值.21.(12分)已知向量a=mcosα2,-sinα2,b=cosβ,sinβ,m>0,-π2|a-b|2,则4a·b>0,即a·b>0,C正确;D正确.故选CD.11.ACD cos2π8-sin2π8=cosπ4=22,故A正确;2sin275°-1=-cos150°=32,故B错误;1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan60°=3,故C正确;因为tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°=-tan120°,所以tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=tan120°,即tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=-3,故D正确.D正确;故选ACD.12.BD 对于A,2cosθ+sinθ=0,则tanθ=-2,错误;对于B,由|b|cos=-36|a|,即cos=-12,而∈[0,π],故=2π3,正确; 对于C,cos=a·b|a||b|=2cosθ+sinθ3=sin(θ+φ)且tanφ=2,当θ为锐角,且sin(θ+φ)=1时,a与b的夹角为0,错误;D正确;故选BD.13.π4 α∈π4,3π4,β∈0,π4,则α-β∈0,3π4,注意到α-β=π-π4-α+3π4+β,于是sin(α-β)=sinπ-π4-α+3π4+β=sinπ4-α+3π4+β,不妨记x=π4-α,y=3π4+β,而x∈-π2,0,sinx=-55,于是cosx=255(负值舍去).又y∈3π4,π,siny=1010,则cosy=-31010(正值舍去),于是计算可得,sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx=22,而α-β∈0,3π4,于是α-β=π4.14.-12e 因为a-e=a+2e,可得(a-e)2=(a+2e)2,整理得a·e=-12e2,所以向量a在e方向上的投影的数量为|a|cos=a·ee=-12e=-12,所以向量a在e方向上的投影向量为-12e.15.1 a+b=(1+λ,λ-3),又(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=λ2-2λ+1=(λ-1)2=0,解得λ=1. 16.55 43 ∵角α的终边经过点P(1,-2),∴cosα=15=55,∴tanα=-21=-2,tan2α=2tanα1-tan2α=43.17.解(1)a=(1,-1),所以|a|=2,所以a·b=|a||b|cosπ3=2×1×12=22.(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,所以a·b-b2=0,所以a·b=1,令=θ,所以cosθ=a·b|a||b|=22,因为θ∈[0,π],所以θ=π4,故a与b的夹角为π4.18.解(1)∵向量a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(6,6),∴|c|=62+62=62.(2)∵a+λb=(1,2)+(2λ,-2λ)=(1+2λ,2-2λ),(a+λb)⊥a,∴1+2λ+2(2-2λ)=0,解得λ=52.19.解(1)由a⊥b得12×22sinα+1×2cosα=0,化简得sinα=-cosα,则sinα+2cosα2sinα-cosα=-cosα+2cosα-2cosα-cosα=-13.(2)a-2b=(22sinα-1,1-22cosα),则|a-2b|=(22sinα-1)2+(1-22cosα)2=22,化简得sinα+cosα=24, 平方得1+2sinαcosα=18,则2sinαcosα=-78,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=158,又α∈π2,π,sinα>0,cosα