人教B版数学高中必修第二册同步练习6.1.4 数乘向量 向量的线性运算

6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算必备知识基础练1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则(  )A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线2.下面四种说法:①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是(  )A.4B.3C.2D.13.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(  )A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC4.已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(  )A.垂心B.内心C.外心D.重心5.已知O是△ABC内一点,满足AO=23AB+12BC,则S△ABC∶S△OBC=(  )A.3∶1B.1∶3C.2∶1D.1∶26.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是(  )A.2a=bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b| 7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为     . 8.已知点P在线段AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ=     . 9.已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示).关键能力提升练10.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是(  )A.a=5e1,b=7e1B.a=12e1-13e2,b=3e1-2e2C.a=e1+e2,b=3e1-3e2D.a=e1-13e2,b=3e1-e211.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是(  )A.BP-TS=5+12RSB.CQ+TP=5+12TSC.ES-AP=5-12BQD.AT+BQ=5-12CR12.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:①GH=2OG;②GA+GB+GC=0;③AH=2OD;④S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为(  ) A.1B.2C.3D.413.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|∶|BC|.14.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设AC=a,AB=b,试用a,b表示AE,AD,BD.学科素养创新练15.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.参考答案1.A BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,所以A,B,D三点共线.2.C 由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.3.A 如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.4.D 设D为BC中点,则AB+AC=2AD,∴AP=2λAD,即点P在中线AD上,可知点P的轨迹必过△ABC的重心,故选D.5.A AO=23AB+12BC=23AB+13BC=23AB+13(AC-AB)=13(AB+AC),所以O是△ABC的重心,所以S△ABC∶S△OBC=3∶1.故选A. 6.AC a|a|,b|b|分别表示与a,b同向的单位向量.对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|;对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|.结合选项,使a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.7.等腰梯形 由已知可得AB=-35CD,所以AB∥CD,且|AB|≠|CD|.又|AD|=|BC|,所以四边形ABCD为等腰梯形.8.13 因为|AB|=4|AP|,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此AP=13PB.9.解因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),所以6a-3b+3c+x=-2a+6b,即x=-8a+9b-3c.10.ABD 对A,a与b显然共线;对B,因为b=3e1-2e2=612e1-13e2=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得3=k,-3=k,无解,故a与b不共线;对D,b=3e1-13e2=3a,所以a与b共线.11.BCD 在A中,BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS,故A正确;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B错误;在C中,ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB,故C错误;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD-SD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.12.D 在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示; 对于②,根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,②正确;对于①③,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴AHOD=AGDG=GHOG=2,∴AH=2OD,GH=2OG,①③正确;对于④,过点G作GE⊥BC,垂足为E,则GEAN=DGDA=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12BC·GE=12BC×13×AN=13S△ABC.同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,④正确.故选D.13.解由AC-AD=2(AD-AB),得AD=13AC+23AB.同理可得,BE=13BC+23BA,CF=13CA+23CB,所以AD+BE+CF=-13BC,所以(AD+BE+CF)∥BC,且|AD+BE+CF|=13|BC|,即|AD+BE+CF|∶|BC|=1∶3.14.解因为CB=b-a,CE=23CF=13CB=13(b-a),所以AE=AC+CE=23a+13b.因为AF=12(a+b),所以AD=85AF=45(a+b),所以BD=AD-AB=45(a+b)-b=45a-15b. 15.(1)证明因为OM=λOB+(1-λ)OA,所以OM=λOB+OA-λOA,OM-OA=λOB-λOA,即AM=λAB.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且AM,AB有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)解由(1)知AM=λAB,若点B在线段AM上,则AM,AB同向,且|AM|>|AB|(如图所示).所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).