人教B版数学高中必修第二册同步练习6.3 平面向量线性运算的应用

6.3 平面向量线性运算的应用必备知识基础练1.(多选题)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC的形状不可能是(  )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形2.已知△ABC满足AB|AB|-AC|AC|=kBC(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是(  )A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,则F2的大小为(  )A.53NB.5NC.10ND.52N4.河水从东向西流,流速为2km/h,一艘船以23km/h的速度垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是     km/h. 5.△ABC所在平面上一点P满足PA+PC=mAB(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为     . 6.在静水中划船速度的大小是每分钟40m,水流速度的大小是每分钟20m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里?关键能力提升练7.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )A.内心B.外心C.重心D.垂心8.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3AM-AB-AC=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(  )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶5 9.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(  )A.AB+BC=CAB.AG=12(AB+AC)C.AF+BD+CE=0D.GA+GB+GC=010.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB,则λ=     ,μ=. 11.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且BD=13BC,CE=13CA,AD与BE交于点R,证明:RD=17AD.学科素养创新练12.如图所示,O,A,B三点不共线,OC=2OA,OD=3OB,BC,AD交于点E,设OA=a,OB=b.(1)试用a,b表示向量OE;(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.13.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点. (1)用OA和OC表示OM;(2)设OB=λCA+μOP,求λ,μ的取值范围.参考答案1.AD 设点M为BC边的中点,由题意可得|OB-OC|=|CB|,|OB+OC-2OA|=|2OM-2OA|=2|AM|,据此结合题意可知CB=2AM,由三角形的性质可知:△ABC的形状是直角三角形.故选AD.2.C 在△ABC中,AB|AB|-AC|AC|=kBC(其中k是非零常数),∴AB|AB|-AC|AC|=k(AC-AB),∴AB|AB|+kAB=kAC+AC|AC|,∴1|AB|+kAB=k+1|AC|AC.又AB,AC不共线,∴1|AB|+k=k+1|AC|=0,∴|AB|=|AC|,∴△ABC一定是等腰三角形.故选C.3.A 由题意可知,对应向量如图,∵α=60°,∴F2的大小为|F合|sin60°=10×32=53(N).故选A. 4.4 由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度,则|OA|=2,|OB|=23,∠AOB=90°,∴|OC|=4.5.12 取AC的中点O,∵PA+PC=mAB(m>0,m为常数),∴mAB=2PO,∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍,∴S△ABC=2S△ABP=12.6.解如图所示,设向量OA的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,∴∠BOC=30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进. 7.C 由题意,得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根据平行四边形法则,知AB+AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.8.B 如图,D为BC边的中点,则AD=12(AB+AC).因为3AM-AB-AC=0,所以3AM=AB+AC=2AD,所以AM=23AD,所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC.故选B.9.CD 点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,因为AB+BC=AC≠CA,故A错误;由12(AB+AC)=AD≠AG,故B错误;因为AF+BD+CE=12(AB+BC+CA)=0,故C正确;因为GA+GB+GC=-2312(AB+AC)+12(BA+BC)+12(CA+CB)=-13(AB+BA+BC+CB+AC+CA)=0,故D正确.故选CD. 10.65 25 以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2).∵CA=λCE+μDB,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴-2λ+μ=-2,λ+2μ=2,解得λ=65,μ=25.11.证明由A,D,R三点共线,可得CR=λCD+(1-λ)CA=23λCB+(1-λ)CA.由B,E,R三点共线,可得CR=μCB+(1-μ)CE=μCB+13(1-μ)CA.∴23λ=μ,1-λ=13(1-μ),∴λ=67,μ=47,∴CR=47CB+17CA,∴AD=CD-CA=23CB-CA,RD=CD-CR=23CB-47CB+17CA=221CB-17CA=1723CB-CA=17AD.12.(1)解∵B,E,C三点共线,∴令OE=xOC+(1-x)OB=2xa+(1-x)b,①同理,∵A,E,D三点共线,令OE=yOA+(1-y)OD可得OE=ya+3(1-y)b,②比较①②,得2x=y,1-x=3(1-y),解得x=25,y=45,∴OE=45a+35b.(2)证明∵OL=a+b2,OM=12OE=4a+3b10,ON=12(OC+OD)=2a+3b2,∴MN=ON-OM=6a+12b10,ML=OL-OM=a+2b10, ∴MN=6ML,又MN与ML交于点M,∴L,M,N三点共线.13.解(1)因为M为AB上靠近B的三等分点,故可得MA=23BA=23(OA-OB),又CB∥OA,且CB=12OA,故CB=12OA,则OM=OA-MA=OA-23(OA-OB)=13OA+23OB=13OA+23(OC+CB)=13OA+23OC+12OA=23OA+23OC.即OM=23OA+23OC.(2)根据题意,因为OA⊥OC,故以O为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系:设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),因为点P在CB上运动,故可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,则OB=(1,1),CA=(2,-1),OP=(m,1).由OB=λCA+μOP可得1=2λ+μm,1=-λ+μ,则μ=3m+2,λ=μ-1,因为m∈[0,1],则m+2∈[2,3],故μ∈1,32,λ∈0,12.