人教B版数学高中必修第二册同步练习6.2.3 平面向量的坐标及其运算

6.2.3 平面向量的坐标及其运算必备知识基础练1.已知点A(1,0),B(3,2),则AB=(  )A.(0,-1)B.(1,-1)C.(2,2)D.(-1,0)2.已知向量a=(2,-1,5),3a-4b=(-6,1,7),则向量b等于(  )A.(3,1,-2)B.(3,-1,2)C.(3,-1,-2)D.(-3,-1,-2)3.(多选题)已知a=(1,0),|b|=1,c=(0,-1),满足3a+kb+7c=0,则实数k的值可能为(  )A.58B.-58C.58D.-584.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则3x+2y的最小值是(  )A.53B.83C.16D.85.已知点M(4,-1),N(1,3),则MN=     ;与MN同方向的单位向量为     . 6.若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三个不同的点共线,则a=     . 7.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为     . 8.已知OA=(1,1),OB=(3,-1),OC=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若AC=2AB,求点C的坐标.9.设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).(1)求|a+2b|;(2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值;(3)若AB=a+b,BC=a-2b,CD=4a-2b,求证:A,C,D三点共线.关键能力提升练10.(多选题)已知λ,μ∈R,AB=(λ,1),AC=(-1,1),AD=(1,μ),那么(  ) A.CB+DC=(λ-1,1-μ)B.若AB∥AD,则λ=2,μ=12C.若A是BD中点,则B,C两点重合D.若点B,C,D共线,则必有μ=111.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(  )A.k=1,且c与d同向B.k=1,且c与d反向C.k=-1,且c与d同向D.k=-1,且c与d反向12.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是(  )A.(1,5)B.(5,-5)C.(-3,-5)D.(5,5)13.已知a=(1,2m-1),b=(2-m,-2),若向量a,b不共线,则实数m的取值范围为 . 14.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为     . 15.已知向量a及其起点A的坐标,求终点B的坐标:(1)a=(4,5),A(2,3);(2)a=(-3,-5),A(3,7).16.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.17.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.(1)求|a+tb|的最小值;(2)若a-tb与c共线,求t的值.学科素养创新练18.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),OP=OA+tAB. (1)若点P在第二象限,求t的取值范围;(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.19.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).(1)若PA+PB+PC=0,求OP的坐标;(2)若OP=mAB+nAC(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n的值.参考答案1.C 因为A(1,0),B(3,2),所以AB=(2,2).故选C.2.B 因为a=(2,-1,5),3a-4b=(-6,1,7),所以b=3a-(-6,1,7)4=(12,-4,8)4=(3,-1,2).故选B.3.AB 由题可得,kb=-3a-7c=-3(1,0)-7(0,-1)=(-3,7),∴|kb|=|k||b|=(-3)2+49=58.∵|b|=1,∴k=±58.4.D 因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么3x+2y=133x+2y(2x+3y)=1312+9yx+4xy≥1312+29yx·4xy=8,当且仅当9yx=4xy时等号成立,又x,y为正数,所以2x=3y,2x+3y=3,解得x=34,y=12,所以原式的最小值为8,故选D.5.(-3,4) -35,45 MN=(1-4,3+1)=(-3,4),所以与MN同方向的单位向量为MN|MN| =15(-3,4)=-35,45.6.-3 依题意,得AB=(a-1,-4),AC=(2,-1-a).由AB∥AC,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3,经检验知a=-3满足题意.7.2 因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).因为|a-b|=|a+b|,所以有(x-1)2+9=(x+1)2+1,解得x=2.8.解由题意知,AB=OB-OA=(2,-2),AC=OC-OA=(a-1,b-1).(1)∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC,∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.(2)∵AC=2AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),∴a-1=4,b-1=-4,解得a=5,b=-3.∴点C的坐标为(5,-3). 9.解(1)a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),|a+2b|=1+0=1.(2)(4,-5)=λ(-1,2)+μ(1,-1),所以-λ+μ=4,2λ-μ=-5,解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.(3)因为AC=AB+BC=a+b+a-2b=2a-b,所以CD=4a-2b=2AC,又两向量有公共点C,所以A,C,D三点共线.10.AC CB+DC=AB-AC+AC-AD=AB-AD=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),故A选项正确;若AB∥AD,则λ·μ=1,可取λ=3,μ=13,故B选项错误;若A是BD的中点,则AB=-AD,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以AB=AC=(-1,1),所以B,C两点重合,故C选项正确;由于B,C,D三点共线,所以BC∥BD,BC=AC-AB=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),BD=AD-AB=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,所以D选项错误.故选AC.11.D ∵a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d不平行,排除A,B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即k=-1,且c与d反向.12.ABC 设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,则AB=DC,∴D(-3,-5);②若这个平行四边形为▱ACDB,则AC=BD,∴D(5,-5);③若这个平行四边形为▱ACBD,则AC=DB,∴D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).13.(-∞,0)∪0,52∪52,+∞ ∵向量a,b不共线,∴1×(-2)≠(2m-1)(2-m),解得m≠0,且m≠52.14.-2 ∵ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).又向量ma+4b与a-2b共线,∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.15.解根据向量的坐标等于终点坐标减起点坐标即可求出答案.(1)设B(x,y),则a=(4,5)=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),所以x-2=4,y-3=5,即x=6,y=8,所以点B的坐标为(6,8). (2)设B(x,y),则a=(-3,-5)=(x,y)-(3,7)=(x-3,y-7),所以x-3=-3,y-7=-5,即x=0,y=2,所以点B的坐标为(0,2).16.解(1)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-1613.(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1,解得x=4+55,y=1+255或x=4-55,y=1-255.∴d=4-55,-255+1或d=4+55,255+1.17.解(1)∵a=(-3,2),b=(2,1),∴a+tb=(2t-3,t+2),∴|a+tb|=(2t-3)2+(t+2)2=5t2-8t+13(t∈R),∴当t=45时,|a+tb|的最小值为755.(2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb与c共线,∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t),∴t=35.18.解(1)OP=OA+tAB=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),由题意,得2t+10,解得-1