第2节 万有引力定律的应用第3节 人类对太空的不懈探索必备知识基础练1.“中星2D”是我国研制的通信广播卫星,可为全国提供广播电视及宽带多媒体等传输任务。“中星2D”的质量为m,运行轨道距离地面高度为h。已知地球的质量为m地,半径为R,引力常量为G,据以上信息可知“中星2D”在轨运行时( C )A.速度的大小为GmR+hB.角速度的大小为Gm地R3C.加速度大小为Gm地(R+h)2D.周期为2πRRGm地解析地球对“中星2D”卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,有Gm地m(R+h)2=mv2R+h=m4π2T2(R+H)=ma,得速度大小为v=Gm地R+h,选项A错误;角速度ω=vR+h=Gm地(R+h)3,选项B错误;加速度大小a=Gm地(R+h)2,选项C正确;周期为T=2π(R+H)R+HGm地,选项D错误。2.科学家们推测,太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上,从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息可以确定( A )A.这颗行星的公转周期与地球相等B.这颗行星的半径等于地球的半径C.这颗行星的密度等于地球的密度D.这颗行星上同样存在着生命解析因只知道这颗行星的轨道半径,所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等。由Gm太mr2=mv2r可知,行星的质量在方程两边可以消去,无法求出其质量,因此无法知道其密度。
3.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设航天员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( B )A.mv2GFB.mv4GFC.Fv2GmD.Fv4Gm解析设卫星的质量为m',由万有引力提供向心力,得Gm行m'R2=m'v2R,m'g=m'v2R,由已知条件,m的重力为F得F=mg,联立解得m行=mv4GF,故选项B正确。4.若某黑洞半径R约为45km,质量M和半径R满足的关系为MR=c22G(其中c为光速,c=3.0×108m/s,G为引力常量),则估算该黑洞表面重力加速度的数量级为( B )A.1010m/s2B.1012m/s2C.1014m/s2D.1016m/s2解析黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为m的物体有GMmR2=mg,又有MR=c22G,联立解得g=c22R,代入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2,选项B正确。5.若取地球的第一宇宙速度为8km/s,某行星的质量是地球质量的6倍,半径是地球半径的1.5倍,此行星的第一宇宙速度约为 km/s。 解析第一宇宙速度是行星表面卫星的环绕速度,对于卫星,其轨道半径近似等于星球半径,所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,根据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm地mR2=mv2R,解得v=Gm地R。因为该行星的质量m星是地球质量m地的6倍,半径R'是地球半径R的1.5倍,则v'v=Gm星R'Gm地R=m星Rm地R'=2,故v'=2v=2×8km/s=16km/s。答案16
6.质量为m的卫星在离地面R0处做匀速圆周运动。设地球的半径也为R0,地面的重力加速度为g,引力常量为G,不考虑地球自转的影响。求:(1)地球的质量;(2)卫星的线速度大小。解析(1)对地面上质量为m的物体有mg=GMmR02解得M=gR02G。(2)设卫星的线速度为v,卫星做圆周运动的向心力等于万有引力GMm(2R0)2=mv22R0解得v=gR02。答案(1)gR02G (2)gR027.如图所示,火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面启动后,以加速度g2(g为地面附近的重力加速度)竖直向上匀加速运动,升到某一高度时,测试仪对平台的压力为启动前压力的1718。已知地球半径为R,求火箭此时离地面的高度。解析启动前测试仪对平台的压力N1=mg①设火箭离地面的高度为h时,测试仪对平台的压力大小为N2,根据牛顿第三定律,平台对测试仪的支持力大小也等于N2的大小。对测试仪由牛顿第二定律得N2-mg'=mg2②由题意得N2N1=1718③由①②③式解得g'=49g④根据万有引力定律知mg=Gm地mR2,g=Gm地R2⑤
mg'=Gm地m(R+h)2,g'=Gm地(R+h)2⑥则由④⑤⑥三式得h=R2。答案R2关键能力提升练8.如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动,从水星与金星在一条直线上开始计时,若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1;金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角),则由此条件不可求得的是( D )A.水星和金星绕太阳运动的周期之比B.水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比C.水星和金星到太阳的距离之比D.水星和金星的密度之比解析相同时间内水星转过的角度为θ1,金星转过的角度为θ2,可知它们的角速度之比为θ1∶θ2。周期T=2πω,则周期比为θ2∶θ1,选项A可求;万有引力提供向心力Gm太mr2=mω2r,知道角速度比,就可求出轨道半径之比,选项C可求;根据a=rω2,轨道半径之比、角速度之比都知道,则可求出向心加速度之比,选项B可求;水星和金星是环绕天体,无法求出它们的质量,也无法知道它们的半径,所以求不出密度比,选项D不可求。9.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度,星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2=2v1。已知某星球的半径为r,表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的16,不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( C )A.grB.16gr
C.13grD.13gr解析16mg=mv12r得v1=16gr。再根据v2=2v1得v2=13gr,故C选项正确。10.(2021全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出该黑洞质量约为( B )A.4×104MB.4×106MC.4×108MD.4×1010M解析根据GMmr2=m2πT2r可得r3T2=GM4π2,对地球绕太阳运动有(1AU)3(1年)2=GM4π2,由题图可得S2绕黑洞运动的周期T1=16年,对S2绕黑洞运动有(1000AU)3(16年)2=GM14π2,解得M1=4×106M,选项B正确。11.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为( B )A.3π(g0-g)GT2g0B.3πg0GT2(g0-g)C.3πGT2D.3πg0GT2g
解析物体在地球的两极时,mg0=GMmR2,物体在赤道上时,mg+m2πT2R=GMmR2,地球质量M=43πR3·ρ,以上三式联立解得地球的密度ρ=3πg0GT2(g0-g)。故选项B正确,选项A、C、D错误。12.预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划。航天员登上月球后进行相关的科学探测与实验。已知月球的半径为R,月球表面的重力加速度为g,引力常量为G(球体体积公式V=43πR3)。求:(1)月球的质量M;(2)月球的第一宇宙速度v;(3)月球的平均密度ρ。解析(1)月球表面物体的重力等于万有引力GMmR2=mg①解得月球的质量M=R2gG。②(2)在月球表面所需的最小发射速度即为第一宇宙速度,有GMmR2=mv2R③由①③式得v=Rg。④(3)月球的平均密度ρ=MV⑤月球的体积V=43πR3⑥联立②⑤⑥式得ρ=3g4πGR。答案(1)R2gG (2)Rg (3)3g4πGR13.恒星演化发展到一定阶段,可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星,中子星的半径很小,一般为7~20km,但它的密度大得惊人。若某中子星的密度为1.2×1017kg/m3,半径为10km,那么该中子星的第一宇宙速度约为多少?(G=6.67×10-11N·m2/kg2)(结果保留两位有效数字)
解析中子星的第一宇宙速度即为它表面卫星的环绕速度,此时卫星的轨道半径可近似认为是中子星的半径,且中子星对卫星的万有引力充当卫星的向心力,由GMmR2=mv2R,得v=GMR又M=ρV=ρ43πR3解得v=R4πGρ3=1×104×4×3.14×6.67×10-11×1.2×10173m/s=5.8×107m/s=5.8×104km/s。答案5.8×104km/s
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