12.3分式的加减（1）教学目标【知识与能力】1.会利用分式的基本性质对分式进行通分.2.理解分式的加减法法则,并会运用它进行分式的加减法运算.【过程与方法】1.通过同分母、异分母分式的加减法运算,复习整式的加减法运算、多项式去括号的法则,培养学生分式运算的能力.2.渗透类比、化归等数学思想方法,培养学生计算的能力.【情感态度价值观】在探究分式加减法法则的活动中,培养学生良好的学习习惯,培养学生运用数学的意识.教学重难点【教学重点】运用分式加减法的运算法则进行分式的加减运算.【教学难点】异分母分式的加减法运算.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】 大约公元250年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何把42写成两个数的平方和的形式,即42=x2+y2,演算过程中出现了1652+1252=25625+14425=256+14425=40025=16.由于16=42,于是他求得了一组解:x=165,y=125.这个问题还有其他的解吗?25625+14425=256+14425=40025=16,用到了什么法则呢?你能计算ba+ca吗?[设计意图] 将数学问题融入具体故事情境,根据有趣味性的问题,使学生积极主动地投入到数学活动中去,从而调动学生学习的积极性.导入二:【课件2】 甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?【思路点拨】 这是一道实际应用问题,主要是以“模型”的思想建立分式加减的代数式,首先应找出甲、乙工程队每一天的工作效率,分别是甲队为1n,乙队为1n+3,然后用和的运算得到两队共同工作一天的分式模型:1n+1n+3.
【教师活动】 组织学生小组合作交流,引导学生回顾曾经学过的有关“工效”问题的应用题的列式方法,并提问个别学生.【学生活动】 小组合作交流,对问题取得共识有下面两点:(1)明确是“工效”(以前学过)模型;(2)所列代数式是分式加法的形式,这是未学过的运算问题.【提出问题】 那么,怎样来计算分式的加法呢?[设计意图] 以实际问题引入新课,提高学生学习的兴趣,同时也为探究本节课的内容打下基础.导入三: [过渡语] 我们学习过分数的加减法,我们一起来回顾一下:(1)什么叫通分?通分的作用是什么?(2)通分的关键是什么?(3)什么叫最简公分母?教师提问,学生回忆,引出课题,并板书课题.[设计意图] 复习旧知识,引出新知识,为本节课的学习做铺垫.二、新知构建：活动一:一起探究——同分母分式加减法思路一 [过渡语] 下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则.【课件3】 计算:112+312,45-15.学生计算,并说出分数的加减法法则.教师根据情况板演:112+312=112+312=412=13,45-15=4-15=35.【课件4】 类比同分母分数的加减法运算法则,完成下面同分母分式的加减运算:(1)1a+2a= ; (2)ba+ca= ; (3)5a-2a= ; (4)ba-ca= . 答案:(1)3a (2)b+ca (3)3a (4)b-ca [过渡语] 同分母分式的加减法的实质与同分母分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则吗?学生同桌之间互说,再全班交流.教师板书:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).用式子表示为:AB±CB=A±CB.思路二
师:想一想:(1)同分母的分数如何加减?你能举例说明吗?(2)你认为分母相同的分式应该如何加减?【学生活动】 讨论得出如下内容:同分母的分数的加减是分母不变,把分子相加减.例如:413+313=4+313=713.分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样,应该是分母不变,把分子相加减.师:现在请你举出几个分母相同的分式的加减法,猜想一下,怎样进行计算?【学生活动】 小组交流,举例说明.师:你能将它推广,得出分式的加减法法则吗?说明:教师提出问题,学生列出算式后,小组讨论,得到同分母分式的加减法法则.归纳:同分母的分式加减法法则:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).用式子表示为:AB±CB=A±CB.教师根据学生归纳的情况,适当点评,并板书.[设计意图] 从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比分数的加减法运算,学生很容易得出同分母的分式的加减法法则.活动二:例题讲解【课件5】 计算下列各式:(1)4ax-ax; (2)a+bx+a+a-bx+a; (3)a2a2-b2+2abb2-a2+b2a2-b2.〔解析〕 (1)和(2)可直接应用同分母分式的加减法法则进行计算;(3)中的第2个分母与其他两个分母互为相反数,可提取“-”号变成相同的.说明:让学生独立完成,然后全班讲评.解:(1)4ax-ax=4a-ax=3ax.(2)a+bx+a+a-bx+a=a+b+a-bx+a=2ax+a.(3)a2a2-b2+2abb2-a2+b2a2-b2=a2a2-b2+-2aba2-b2+b2a2-b2=a2-2ab+b2a2-b2=a-b2a+b(a-b)=a-ba+b.教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式或整式.可以向学生简单介绍最简分式的有关知识,可与最简分数相类比.引导学生总结:(1)分子如果是一个多项式,此时分数线还具有括号的作用;(2)最后结果应化成最简分式或整式.[设计意图] 通过例题,进一步提高学生对同分母分式加减法的认识,为熟练进行异分母分式加减打下基础.活动三:异分母分式相加减 [过渡语] 刚才我们研究了同分母分式的加减法,现在来看一下异分母分式的加减法.1.观察与思考——法则的探究【课件6】 观察与思考:(1)异分母两个分数相加减,是将其化为同分母分数的加减法来进行的.如:12±23=1×32×3±2×22×3=3±46.
(2)类比异分母分数的加减,异分母分式的加减应当怎样进行呢?(3)试计算:ba±dc.小组讨论,选派代表发言.小组讨论后得出:与异分母分数加减类似,异分母分式相加减也应该先通分,化成同分母的分式,然后按同分母分式加减法法则进行计算,关键是如何通分.【课件7】教师根据上述内容进行说明,然后交代:像这样,把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫做分式的通分,这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.几个分式的公分母不止一个,通分时一般选取最简公分母.[知识拓展] 确定最简公分母的方法:(1)取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数;(2)取各分母中相同因数的最高次幂作为公分母的因式;(3)各分母中出现的因式都必须出现在公分母中.如ac,mac(m为非0整式)都是分式ba,dc的公分母,但ac是最简公分母.【提出问题】 请你根据异分母分数的加减法法则,总结一下异分母分式的加减法法则?归纳:异分母的分式加减法法则.语言表述:异分母的两个分式相加(减),先通分,化为同分母的分式,再相加(减).字母表示为:AB±CD=ADBD±BCBD=AD±BCBD.活动四:例题讲解【课件8】 计算下列各式:(1)b24a2-ca; (2)1xz+x2y.引导学生独立完成.解:(1)b24a2-ca=b24a2-4ac4a2=b2-4ac4a2.(2)1xz+x2y=2y2xyz+x2z2xyz=2y+x2z2xyz.[设计意图] 通过讨论并解决分式的通分,使学生掌握把异分母分式转化为同分母分式的方法,培养学生转化的思想,提高学生解决问题的能力.三、课堂小结：1.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.确定最简公分母的方法:①
如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当成一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的代数式,以便通分.4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.[设计意图] 及时反馈学生学习的情况,让学生对自己的学习反思,在交流中与同学分享,体验到学习数学的快乐.
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