14.3实数（2）教学目标【知识与能力】1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.2.能正确对实数进行分类.3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数.【过程与方法】通过在数轴上画出表示π和√2的点,理解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合的思想.【情感态度价值观】引导学生积极参与教学活动,产生探求新知的欲望,增强学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】实数的分类.【教学难点】实数与数轴上的点一一对应.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:当数从有理数扩充到实数以后,相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢?【课件1】【提出问题】(1)2的相反数是 ,-2的相反数是 ,0的相反数是 ; (2)3= ,-3= ,|0|= ; (3)5的倒数是 ,-13的倒数是 . (4)有理数可以用数轴上的点表示吗?[设计意图] 复习巩固有理数的知识,为学习新知识做好准备.导入二:【课件2】 阅读下面的一段对话.小明说:“有理数和数轴上的点是一一对应的.”小丽说:“你说得不对,应是实数和数轴上的点是一一对应的.”同学们,两人到底谁说得对呢?我相信,当你认真学完本节后,答案自然能见分晓.[设计意图] 以两人对话的形式引入本节课题,易提高学生的学习兴趣.导入三:【课件3】
1.填空:无限不循环小数叫做 ,有理数和 统称为实数. 2.判断对错:对的画“?”,错的画“×”.(1)79是有理数.( )(2)-7是无理数.( )(3)9是无理数.( )(4)π是无理数.( )(5)3.14159265是无理数.( )(6)0.1·3·是无理数.( )师:上节课我们学习了什么是实数,那么什么是实数呢?(出示下图)师:初一的时候,我们学过有理数,有理数包括整数和分数.这学期我们学习了一种新的数,什么数?无理数.无限不循环小数就是无理数.无理数的出现,使数的范围扩大了.有理数和无理数合在一起统称为实数.师:大家还记不记得,初一的时候我们学过不少有关有理数的结论,这些结论当时是针对有理数说的,现在数的范围扩大到了实数,这些结论还成立吗?我们一起来看一看.[设计意图] 复习无理数与实数的相关知识,从数的扩充和发展了解数的范围的扩大,设置疑问,确定本节课要研究的内容.二、新知构建：活动一:观察与思考——实数与数轴上的点的一一对应关系思路一 [过渡语] 我们知道任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢?【课件4】 (教材第73页观察与思考)1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.(1)线段OA,OB的长分别是多少?(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?说明:让学生利用边长是面积的算术平方根,即边长=面积,求出两个正方形的边长.从而确定OA,BO的长和点A,B所对应的数.通过探究得出:(1)线段OA,OB的长分别是2,3;(2)点A,B在数轴上对应的数分别是2,3.根据上面的观察我们不难得到2,3这两个无理数可以用数轴上的点来表示,那么对于圆周率π是否可以用数轴上的点表示出来呢?【课件5】
2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置.(1)线段OP'的长是多少?(2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数?根据圆的周长公式得到点P运动的距离就是直径为1的圆的周长π,所以线段OP'=π,点P'对应的数是π.因此得到这样的结论,无理数π也可以用数轴上的点表示出来.师:事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.因此可以猜想一下,数轴上的点与实数的关系是什么?生:实数包括有理数和无理数,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,任何一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,总之,数轴上的点表示实数.师:总结得非常好!当数从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就一一对应了,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.[知识拓展] 每个有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示有理数;同样地,每个无理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示无理数.由此可以知道,实数和数轴上的点是一一对应的.思路二【课件6】 请你在数轴上表示出-1,0,45,4,-1.5.结论:每个有理数都可以用数轴上的点来表示.师:我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么每个无理数也可以用数轴上的点来表示吗?答案是肯定的,每个无理数也可以用数轴上的点来表示.想一想,怎样表示2和π这两个无理数呢?如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开,得到四个直角边都相等的三角形,即可拼成一个大正方形.想一想:大正方形的面积是多少?它的边长是多少?(2)这就是说,边长是1的正方形的对角线长是2,利用这一事实,我们容易在数轴上画出表示2的点.那么如何在数轴上表示圆周率π呢?请你想一想直径是多少的圆,其周长是π.学生经过讨论得出直径是1的圆的周长是π,因此可以利用圆滚动的距离来表示π.(
利用多媒体演示圆运动的过程)师:每个有理数、每个无理数都可以用数轴上的点来表示,这说明每个实数都可以用数轴上的点来表示.师:(指准数轴)数轴是由密密麻麻的点组成的,可以想象,数轴上的每一个点,要么表示的是有理数,要么表示的是无理数.于是我们可以得到这样的结论:每一个实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,也就是实数与数轴上的点一一对应.我们利用数轴来表示实数,将数和图形联系在一起,这给我们研究数学问题带来了方便,这也是数学中一个相当重要的思想——数形结合思想.师:请大家把这个结论读两遍.(生读)师:读了两遍有什么感觉?可能有同学会说:“这个结论读起来有点像绕口令,怎么感觉上半句话和下半句话的意思是一样的?”上半句话是,每一个实数都可以用数轴上的点表示,下半句话是,数轴上的每一个点都表示一个实数.上半句话和下半句话的意思一样吗?不一样.比如说,我们班每个同学都坐在电影院的一个座位上,反过来,电影院的每一个座位上都坐着我们班的一个同学.仔细体会,上半句话和下半句话的意思是不一样的.【课件7】 判断对错:对的画“?”,错的画“×”.(1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示.( )(2)数轴上所有的点都表示有理数.( )(3)所有的实数都可以用数轴上的点表示.( )(4)数轴上所有的点都表示实数.( )[设计意图] 通过数形结合,让学生体会无理数也可以用数轴上的点表示,同时利用类比的思想,让学生体会知识的迁移过程.活动二:大家谈谈——实数的计算与分类 [过渡语] 我们已经学习了如何求一个有理数的相反数、绝对值和倒数.现在数扩充到了实数,怎样求实数的绝对值、相反数和倒数呢?1.实数的计算思路一【课件8】 参照有理数的有关概念,谈谈实数的下列概念:(1)实数的绝对值.(2)实数的相反数.(3)实数的倒数.通过学生的交谈,使学生明确在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.【课件9】(1)2的相反数是 ,|2|= ,2的倒数是 ; (2)-π的相反数是 ,-π= ,-π的倒数是 ; (3)0的相反数是 ,0= . 学生独立完成,并归纳总结出如何求一个实数的相反数,以及如何求一个实数的绝对值和倒数.(1)当a为实数时,a的相反数为-a;(2)当a为正实数时,a=a,即正实数的绝对值是它本身;(3)当a为负实数时,a=-a,即负实数的绝对值是它的相反数;(4)当a为0时,a=0,即0的绝对值是0;(5)当a≠0时,a的倒数是1a.
思路二师:初一的时候,我们学过相反数和绝对值,谁还记得什么是相反数?什么是绝对值?生:……师:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数.(指准数轴上表示-4的点)数轴上表示-4的点与原点的距离叫做-4的绝对值,一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.师:初一的时候,相反数和绝对值都是相对有理数说的,现在数的范围扩大了,对实数来说,也一样有相反数和绝对值.譬如,3与-3互为相反数(板书:3与-3互为相反数);3的绝对值等于3(板书:|3|=3),-3的绝对值也等于3(板书:|-3|=3).师:关于相反数和绝对值我们有下面的结论.(1)数a的相反数是-a.(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.用字母表示:a=a(a>0),0(a=0),-a(a
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