翼教版初中数学九年级上册教案25.5.1 相似三角形的性质

25.5相似三角形的性质（1）教学目标【知识与能力】1.了解相似三角形对应线段的比等于相似比.2.能应用相似三角形的性质进行有关计算.【过程与方法】1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题的一般思路和方法.2.利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.2.经历观察——猜想——证明——归纳等探究过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质定理的探索及应用.【教学难点】相似三角形性质的归纳推理.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些基本特征?【师生活动】 学生思考回答,教师点评.[导入语] 我们已经知道:两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,除了这些基本性质外,还有什么性质呢?这就是我们这节课要探究的内容.导入二:【课件展示】 小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为l,当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰AB是像A'B'的一半长? 【教师活动】 教师展示课件,导出课题.[设计意图] 通过复习相似三角形的概念和判定方法,做好新旧知识之间的衔接;由生活实际问题导出课题,激发学生的学习兴趣,感受数学与其他学科之间的联系.二、新知构建：  [过渡语] 全等三角形的对应高、对应中线和对应角平分线分别相等.两个相似三角形,它们的对应高、对应中线和对应角平分线的比与它们的相似比之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.一起探究 相似三角形的性质思路一相似三角形的对应线段的比等于相似比.【课件展示】 如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高,那么AD与A'D'的比与相似比之间有怎样的关系?【思考】(1)图中的ΔABD和ΔA'B'D'相似吗?如何证明?(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与A'D'的比与相似比之间的关系吗?(3)请写出你的解答过程.(4)你能叙述你得到的结论吗?【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,学生完成解答过程,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并规范书写格式.【课件展示】相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证:ADA'D'=k.证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B=∠B'.又∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C',∴∠ADB=∠A'D'B'=90°,∴ΔADB∽ΔA'D'B'. ∴ADA'D'=ABA'B'=k.追加提问:(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k.AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,AF与A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的平分线.猜想:AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.求证:AEA'E'=k.证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B=∠B',ABA'B'=BCB'C'.又∵AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,∴BE=12BC,B'E'=12B'C',∴BEB'E'=ABA'B',∴ΔABE∽ΔA'B'E'.∴AEA'E'=ABA'B'=k.2.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.求证:AFA'F'=k.证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.又∵AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线,∴∠BAF=12∠BAC,∠B'A'F'=12∠B'A'C',∴∠BAF=∠B'A'F',∴ΔABF∽ΔA'B'F'.∴AFA'F'=ABA'B'=k. 思路二动手操作:(1)让学生作出两个三角形ΔABC与ΔA'B'C',使ΔABC∽ΔA'B'C',并通过测量得出相似比.(2)分别过点A作AD⊥BC,A'D'⊥B'C',垂足分别为D,D'.(3)测量两个三角形的高AD与A'D',求出ADA'D'的值.(4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系.(5)证明你的猜想.【师生活动】 学生测量比较后小组合作交流结果,完成猜想及证明,小组代表板书过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点.【课件展示】相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证:ADA'D'=k.证明:同思路一.追加提问:(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k.AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,AF与A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的平分线.猜想:AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.求证:AEA'E'=k. 证明:同思路一.2.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.求证:AFA'F'=k.证明:同思路一.【课件展示】归纳性质:相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比.[设计意图] 思路一在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用相似三角形的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比;思路二通过测量,提出猜想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学生数学思维和解决问题的能力.例题讲解【课件展示】 (教材84页例1)如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,AEAB=35,AD=15.求AG的长.教师引导思考:(1)由EF∥BC可以得到哪两个三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段?(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下思考,独立完成解答过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行评价,并规范解题格式.【课件展示】解:∵EF∥BC,∴ΔAEF∽ΔABC.∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴AGAD=AEAB.又∵AEAB=35,AD=15,∴AG15=35,∴AG=9.[设计意图] 学生在教师的引导下共同完成例题的探究,加深对相似三角形的性质的理解和掌握,提高学生的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力.[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等, 还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.三、课堂小结：1.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应边成比例;(2)相似三角形的对应角相等;(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比.2.相似三角形的性质的应用:应用相似三角形的性质,可以求线段的长度、角的大小,也可以证明角相等、线段相等等.